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61342.Re: k準同型の命題  
名前:    日付:2019年09月07日(土) 09時18分
済みません、証明を書き直す際に疑問がまた浮かび上がったので質問させて頂きます。証明中のΦ:k[x]→Aを
Φ(f(x))=把∨i1,...,in a1∧i1...an∧in と定義するというc∨i1,...,inというのはcvi1,...,in=φ(cvi1,...,in)=g(c∨i1,...,in)と考えればよろしいでしょうか。
よろしくお願いします。
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61313.Re: k準同型の命題  
名前:    日付:2019年09月02日(月) 20時58分
長々と済みません。
ありがとうございました。
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61309.Re: k準同型の命題  
名前:T    日付:2019年09月02日(月) 13時30分
>>61307
その通りです。

>>61308
Φ が k 準同型であるためには Φ(t)=t でなければならない、ということならそうですね。
61290よりも、ご自身が61295で書かれた

>kからk[x]への準同型をf,kからAへの準同型をg、k[x]からAへの準同型をΦとしてΦがk準同型だとするとΦはΦ◦f=gを満たす。
>よって任意のkの元hでΦ◦f(h)=g(h)となる。するとt∈kのΦの像Φ(t)は任意のkの元hでΦ◦f(h)=g(h)となる事よりtのΦによる像はΦ(t)=g(t)によって定められる。

が良い説明かと思います。
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61308.Re: k準同型の命題  
名前:    日付:2019年09月02日(月) 10時41分
済みません、それと61290のΦの定数項の元の場合の定義はΦがk準同型になるための必要な定義ですよね。
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61307.Re: k準同型の命題  
名前:    日付:2019年09月02日(月) 10時22分
ありがとうございます。
合成写像の解釈を正すことが出来ました。
包含写像だけを考えれば61295の主張は正しいということですよね。
包含写像以外を考えるのであれば61299のt∈kで上記の通りにd(ci1,...,i)=e(ci1,...,i)=g(t)となるものとする
とするためには、
 f(t)=ci1,...,i
を満たす t をとる必要があります。を満たす場合を考えなきゃならないもしくは他の仮定が必要という事ですよね。
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61305.Re: k準同型の命題  
名前:T    日付:2019年09月02日(月) 01時31分
了解です。
(x,y は集合ですよね。
写像 f:x→y の x は定義域、y は値域と呼ぶのが一般的かと思われます。
「原像」は違う意味で使われることが多いので気を付けてください。)

f,g をこれまでと同様のものとします。
環準同型 Φ:k[x]→A が k 準同型であるというのは
 任意の t∈k に対して Φ(f(t))=g(t)
が成り立つことですが、これは f(t) の形をした元でしか定義されない、という意味ではありません。
k[x]の中で f(t) の形をした元についてはこうでなければならないというだけで、それ以外 k[x] の元についてもΦは定義されます。

そもそも、k[x] から A への準同型、と言った時点で全ての k[x] の元に対して A の元が定められていなければなりません。
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61303.Re: k準同型の命題  
名前:    日付:2019年09月01日(日) 21時28分
解答ありがとうございます、そうなんですか。
済みません、p9の係数は定数項の意味でした。
原像は「写像されるもとの像のこと。写像f:x→yのxをいう。」を示します。
よろしくお願いします。
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61302.Re: k準同型の命題  
名前:T    日付:2019年09月01日(日) 16時56分
f:k→k[x] が一般の環準同型の場合は、k 準同型 k[x]→A の一意性は必ずしも成り立ちません。

それはそれとして、後半の話を先に解決すべきだと思います。
よく分からないのですが、「係数」は定数のことでしょうか。
それと「原像」はどういう意味で用いているのでしょうか。(写像 f:A→B の A のこと?)
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61301.Re: k準同型の命題  
名前:    日付:2019年09月01日(日) 13時39分
そうですね、61298の様なtがあるとは限りませんね。
目的としてはd(ci1,...,i)=e(ci1,...,i)としたいのですが、包含写像の場合はd(ci1,...,i)=e(ci1,...,i)=g(ci1,...,i)となると思うのですが、一般のk準同型の場合は上記は示せませんか。
今のところ思い付くことが出来ないので示せる場合よろしければご教授よろしくお願いします。
包含写像というのは標準的単射とも呼ばれる写像の事ですよね。
だとしてkからk[x]の準同型は包含写像で固定されているとしたらkの任意の元の像はkの元という事になってk[x]からAへのk準同型の原像はkの元だけつまり係数だけとなる。これで命題1.3.14の様にΦ(x1)=a1,...,Φ(xn)=anの様なΦを考えても原像となるものの中にはx1,...,xnは入っていないのでこの様な写像を考える必要が見出せないのですがその辺りをよろしければご教授よろしくお願いします。
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61299.Re: k準同型の命題  
名前:T    日付:2019年09月01日(日) 00時53分
恒等写像というか包含写像ですね。 
命題1.3.14では k から k[x] への準同型は包含写像で固定されているので、他の場合を考える必要はありません。
包含写像以外を考えるというのは命題1.3.14とは関係ない話になりますがよろしいでしょうか。

>>61297は正しいです。これは k 準同型の定義そのものであり、一般の場合に成り立ちます。

>>61298には誤りがあります。
t∈k に対し f(t)=t' とおくと d(t')=e(t')=g(t) というのは正しいですが、
これを用いて
>t∈kで上記の通りにd(ci1,...,i)=e(ci1,...,i)=g(t)となるものとする
とするためには、
 f(t)=ci1,...,i
を満たす t をとる必要があります。f が一般の環準同型の場合、このような t が存在するとは限りません。
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61298.Re: k準同型の命題  
名前:    日付:2019年08月31日(土) 19時59分
下記の様にしたら
「一意性の証明の部分なのですが、命題の写像が二つ存在しているとして、それをd,eとする。
d,eは上記よりt∈kのd,eによる像はg(t)によって定められる。k[x]の任意の元をs=把i1,...,inx∨1∧i1,...,x∨n∧inとするとd(s)=播(ci1,...,i)a∨1∧i1,...,a∨n∧in=波(ci1,...,i)a∨1∧i1,...,a∨n∧in=e(s)となるので命題の主張の写像は一意的である」
の部分の「d,eは上記よりt∈kのd,eによる像はg(t)によって定められる。」は「d,eは上記よりt’∈k(t∈kのfによる像はf(t)=t’とする)のd,eによる像はg(t)によって定められる。」に訂正して「k[x]の任意の元をs=把i1,...,inx∨1∧i1,...,x∨n∧inとするとd(s)=播(ci1,...,i)a∨1∧i1,...,a∨n∧in=波(ci1,...,i)a∨1∧i1,...,a∨n∧in=e(s)となるので命題の主張の写像は一意的である」の部分は「k[x]の任意の元をs=把i1,...,inx∨1∧i1,...,x∨n∧inとすると(t∈kで上記の通りにd(ci1,...,i)=e(ci1,...,i)=g(t)となるものとする)d(s)=播(ci1,...,i)a∨1∧i1,...,a∨n∧in=波(t)a∨1∧i1,...,a∨n∧in=e(s)となるので命題の主張の写像は一意的である」と変更すれば話が通りますか。
よろしければご確認よろしくお願いします。
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61297.Re: k準同型の命題  
名前:    日付:2019年08月31日(土) 19時41分
見直してみたのですが
「よって任意のkの元hでΦ◦f(h)=g(h)となる。するとt∈kのΦの像Φ(t)は任意のkの元hでΦ◦f(h)=g(h)となる事よりtのΦによる像はΦ(t)=g(t)によって定められる。」
この辺りの「t∈kのΦの像Φ(t)は任意のkの元hでΦ◦f(h)=g(h)となる事よりtのΦによる像はΦ(t)=g(t)によって定められる。」の部分がこれだとfが恒等写像の場合しか言ってないことになってる気がするので下記の訂正の確認をお願いしたいです。「t’∈k(t∈kのfによる像はf(t)=t’とする)のΦの像Φ(t’)は任意のkの元hでΦ◦f(h)=g(h)となる事よりt’のΦによる像はΦ(t’)=g(t)によって定められる。」としたらfが恒等写像じゃない準同型でも自分が書いた事が言えると思うのですが、よろしければご教授よろしくお願いします。
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61296.Re: k準同型の命題  
名前:T    日付:2019年08月31日(土) 19時00分
写像の一意性についてでしたか。
勘違いしておりました、すみません。
であれば、φ(t)=t の理解、証明の流れ、一意性の証明のいずれも問題ないと思います。
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61295.Re: k準同型の命題  
名前:    日付:2019年08月31日(土) 18時01分
例も示して頂きありがとうございます。
A は k 代数なので環準同型 k→A が固定されています。
Φ(t)=t の右辺の t は上記の準同型による t の像です。
これはΦがk準同型であるこによって自ずと定められるtの像ですよね。
この部分なのですが、代数学2の命題1.3.14の下記の一意性を示す部分のことでした。間違えました。済みません。
そうだとしたらkからk[x]への準同型をf,kからAへの準同型をg、k[x]からAへの準同型をΦとしてΦがk準同型だとするとΦはΦ◦f=gを満たす。
よって任意のkの元hでΦ◦f(h)=g(h)となる。するとt∈kのΦの像Φ(t)は任意のkの元hでΦ◦f(h)=g(h)となる事よりtのΦによる像はΦ(t)=g(t)によって定められる。このことをA は k 代数なので環準同型 k→A が固定されています。
Φ(t)=t の右辺の t は上記の準同型による t の像です。
これはΦがk準同型であるこによって自ずと定められるtの像ですよね。
と書いたのですが、間違っているところはありますか。ありましたらご教授よろしくお願いします。
済みません、確認しておきたいのですが、代数学2の命題1.3.14の証明の前半は命題の主張している様な写像の存在を示しているのですよね。そして次に一意性を示しているのですよね。
一意性の証明の部分なのですが、命題の写像が二つ存在しているとして、それをd,eとする。
d,eは上記よりt∈kのd,eによる像はg(t)によって定められる。k[x]の任意の元をs=把i1,...,inx∨1∧i1,...,x∨n∧inとするとd(s)=播(ci1,...,i)a∨1∧i1,...,a∨n∧in=波(ci1,...,i)a∨1∧i1,...,a∨n∧in=e(s)となるので命題の主張の写像は一意的であるとしたのですが、間違っているところがありましたらご教授よろしくお願いします。
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61294.Re: k準同型の命題  
名前:T    日付:2019年08月31日(土) 11時42分
>これはΦがk準同型であることによって自ずと定められるtの像ですよね。

そもそもこの時点では Φ が k 準同型かどうかは分かっていません。
これはΦの定義式
 Φ(f(x))=Σ_{i_1,...,i_n} c_{i_1,...,i_n}a_1^{i_1}…a_n^{i_n}
に f(x)=t を代入した結果です。

>kからk[x]の写像は包含写像以外に係数だけでない多項式を像にとるような準同型があると考えてよいですか。

命題1.3.14の中では k から k[x] への準同型は包含写像で固定されていますが、一般的な話ということでしょうか。
それと「係数だけでない多項式」は「定数だけでない多項式」でしょうか。
であれば、像が定数のみでない場合もありますし、定数のみだとしても包含写像でないものもあります。

例えば k=Z[t] (Z は整数環) とすると、環準同型 ψ:Z[t]→Z[t][x] として
 ψ(f(t))=f(t+1) (像が定数のみ)
 ψ(f(t))=f(x) (像が定数のみでない)
などが存在します。
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61292.Re: k準同型の命題  
名前:    日付:2019年08月31日(土) 01時17分
A は k 代数なので環準同型 k→A が固定されています。
Φ(t)=t の右辺の t は上記の準同型による t の像です。
これはΦがk準同型であることによって自ずと定められるtの像ですよね。
それとkからk[x]の写像は包含写像以外に係数だけでない多項式を像にとるような準同型があると考えてよいですか。
何度も済みませんがご教授よろしくお願いします。
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61290.Re: k準同型の命題  
名前:T    日付:2019年08月30日(金) 19時57分
A は k 代数なので環準同型 k→A が固定されています。
Φ(t)=t の右辺の t は上記の準同型による t の像です。
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61289.Re: k準同型の命題  
名前:    日付:2019年08月30日(金) 18時51分
解答ありがとうございます。
Tさんの言っている事を踏まえて考えても下記の事が決まらないと一意性が示せないです。
「中盤部分のt∈kなら、Φ(t)=tとあるのですが、名無しさんの言うとおりに考えるとtはAの元であるとするとこのtは任意のAの元としていいのですか。
それとももっと具体的な元ですか。」
検討違いでしたらその部分もよろしければご指摘よろしくお願いします。
ご教授よろしくお願いします。
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61288.Re: k準同型の命題  
名前:T    日付:2019年08月30日(金) 18時02分
A を k 代数とする、と言った時点で普通は環準同型 k→A を固定して考えます。

ちょうど手元に同じテキストがあるので確認しましたが、この部分が少々分かりにくいですね。
一応「準同型が違えば A は違う k 代数である」あたりの記述から読み取れる…でしょうか。
準同型が違えば A は違う k 代数なので、環準同型 k→A を固定して初めて A を1つの k 代数と見なすことができます。

ついでに言うと、「多項式環 k[x] は明らかに k 代数である」とありますが、この場合の環準同型 k→k[x] は包含写像です。
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61286.Re: k準同型の命題  
名前:    日付:2019年08月29日(木) 22時32分
ありがとうございました。
自分でも考えていますが、誰か分かる方が居ましたらご教授よろしくお願いします。
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61285.Re: k準同型の命題  
名前:名無し    日付:2019年08月29日(木) 21時18分
(k準同型の一意性の問いに関しては、自分の理解の仕方に確信をもてないので、他の理解者の声を待ちたいです。すみません。)

仰る通り、cvi1,...,in は φ(cvi1,...,in) と置き換えて A の元だと思えば、
把∨i1,...,in φ(x1)∧i1...φ(xn)∧in は A の元同士の積なので A の元になる、と考えて問題ありません。
112-68-168-127f1.shg1.eonet.ne.jp (112.68.168.127)
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61284.Re: k準同型の命題  
名前:    日付:2019年08月29日(木) 11時43分
ありがとうございます、そうでした。
Φ(t)=tはk[x]からAへのtの像という事は分かったのですが、結局tの像は何なのですか?
Aの任意の元だとすると一意性が示せないと思います。どうに決めるもしくは決められるでしょうか。
それと、下の多項式の像を考えているところを見るとΦは準同型であるから積、毎に写像を分割していると考えました。するとΦ(c∨i1,...,in)=c∨i1,...,inと成っているように考えました。ところでc∨i1,...,inはkの元だと思うのでp15ページの最後の方と同様にc∨i1,...,inはAの元だと考えれば把∨i1,...,inΦ(x1)∧i1...Φ(xn)∧inはAの元になるので上記の様に考えれば良いのでしょうか。
的外れな質問でしたらその点もよろしければご教授よろしくお願いします。
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61282.Re: k準同型の命題  
名前:名無し    日付:2019年08月29日(木) 11時06分
>t∈kなら、Φ(t)=tとあるのですがtはAの元でないとすればΦは写像でない

この質問は「( φ の行き先の t が) A の元でないとすれば φ:k[x]→A は写像ではない」という解釈でよろしいでしょうか。

前のページ p15 の最後の方に「t∈k のAにおける像も t と書くことにする.」という記述を見ていただけると思います。書かれている通り、許された記号の乱用になっています。
よって、( φ の行き先の) t は A に属する、と考えてよいと思います。
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61281.k準同型の命題  
名前:    日付:2019年08月28日(水) 23時39分
代数学2 雪江昭彦著
https://drive.google.com/file/d/1-JfrW3uR6bzwc3rAtz_pj8Lyp5WzpLpG/view?usp=drivesdk
これの命題1.3.14で質問です。
中盤部分のt∈kなら、Φ(t)=tとあるのですがtはAの元でないとすればΦは写像でないと考えました。間違えていたらご教授よろしくお願いします。
t∈kなら、Φ(t)=tとなるのが分かりません。ご教授よろしくお願いします。
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