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61278.Re: 群環の定義  
名前:名無し    日付:2019年08月26日(月) 21時03分
双対基底を考えることで、このような線形結合の表記は理にかなっている、ということに理解できました。
非常にわかりやすく解説していただきました。ありがとうございます。
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61277.Re: 群環の定義  
名前:ast    日付:2019年08月26日(月) 18時02分
一つ目:
> a のことを Σa_g g とも書く
と書いてある通り, 形式的に単にそう書くことにするというだけであり, その表記にそれ以上の「意味」はありません (そう書くだけの意義はあるけれども).
# 写像 a: G→A をそのグラフ {(g, a_g) | g∈G} と同一視するというのと大して変わりません.

そのような形式的表記に合理性を感じないのであれば, できるかぎりもともとの写像の記法で書くようにし, 資料もそのように書き直しながら読むとよいと思います.

# なお,「意義」はいろいろありますが, 一つの述べ方としては以下のようにいうことができます.
# 形式的な線型結合 ∑ a_g g 全体の空間は標準的な基底 {g | g∈G} を持ちますが, その双対基底を {e_g | g∈G} とすると
# 写像の空間 A[G] はこの双対基底で生成されます (とくに e_g(h) は g=h のとき 1, g≠h のとき 0 となる写像 G→A です) ので,
# A[G] の任意の元 a は形式的ではなく実際に線型結合 a = ∑ a_g e_g で表されます.

二つ目:
n^2 個の gh のうち実際に相異なるものは n 個で各々 n 回現れるということに留意してください. 写像 a,b: G→A の積 a.b は任意の k∈G に対し (a.b)(k) := ∑[gh=k] a_g b_h となるものを言います.
# これもまた写像を形式的線型結合として書く「意義」のひとつではあります.
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61276.Re: 群環の定義  
名前:名無し    日付:2019年08月26日(月) 12時51分
一応、二つ目の疑問も書いておきます。

仮に、有限群GをZ/nZ としておきます。
A[G]の元の積Σ[g,h∈G]a_g b_h (gh) について
写像G→Aはn個のGの元それぞれをAの元に対応させますが、
積を定義した式の右辺Σ[g,h∈G]a_g b_h (gh) ということはg,h∈Gよりをn×n個の和で書かれています。つまりgh∈Gとa_g b_h∈Aの対応がn×n個あるように思えてしまいます。
しかしGの元の個数がnである以上、対応はn個でなければならないのでは、というのが二つ目の疑問点です。
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61275.群環の定義  
名前:名無し    日付:2019年08月26日(月) 12時29分
(代数学2(雪江)p2より)
G:有限群 A:可換環 A[G]:GからAへの写像全体の集合 a:G→A 写像 とするとき
a(g)のことをa_gと書けば,a は a_g がすべて定まれば写像として定まる.
よって,a のことを Σa_g g とも書く(a_gとgの積をg∈Gで和を取っている).
A[G]の元の和をΣa_g g + Σb_g g = Σ(a_g+b_g)g
A[G]の元の積を(Σ[g∈G] a_g g)(Σ[g∈G]b_g g)=Σ[g,h∈G] a_g b_h (gh)と定義する.


この群環の定義について疑問なのですが、
写像aをΣを用いて定義するときに、Gの元とAの元の積の和で(なぜか?)写像を表しているように見えますが、これをGの元とAの元の「積」として見ることが間違っているのでしょうか。
ただ単にgとa_gが対応している、つまりΣ[g∈G](a_g,g)みたいな感じのイメージなのでしょうか。

二つ目の疑問もありますが、まずここから解決したいです。
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