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61232.Re: 2変数関数の極値  
名前:きょうれつ    日付:2019年08月12日(月) 12時14分
丁寧な解説ありがとうございました!
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61228.Re: 2変数関数の極値  
名前:黄桃    日付:2019年08月12日(月) 07時36分
最初に書いたように、

実数A,Bについて、AB>0⇔A,Bが同符号

です。したがって、

f(x,y)≧0
⇔ (y-x^2)(y-2x^2)≧0
⇔「y-x^2≧0 かつ y-2x^2≧0」 または「y-x^2≦0 かつ y-2x^2≦0」
⇔「y≧2x^2」または「y≦x^2」
(同様に、f(x,y)≦0 ⇔ x^2≦y≦2x^2)
です。

つまり、xy平面で、y=2x^2 と y=x^2 のグラフを書けば、この間でf(x,y)<0, y=2x^2の上側とy=x^2の下側で f(x,y)>0 です。
そして、原点付近はどんな近傍をとってもf(x,y)>0の領域もf(x,y)<0の領域も含みますから、原点は極値になりません。

#ということがいいやすいように問題では親切に f(0,0)=0 で、しかも、f(x,y)が積の形になっています。
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61227.Re: 2変数関数の極値  
名前:きょうれつ    日付:2019年08月11日(日) 23時28分
(0,0)においてy=mxのとき極小、y=3/2x^2のとき極大となることはわかりました。この2つの結果から(0,0)では極値は取らないことが分かりましたが、この2つの結果を使わずに極値を取らないことを証明する方法を教えてください。
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61225.Re: 2変数関数の極値  
名前:黄桃    日付:2019年08月11日(日) 22時36分
あってません。
x軸上、y軸上だけで増減を調べても十分ではありません。

#そもそも、f(x,0)=2x^4 です。

##もし、(0,0)が唯一の極値で極小値であれば、最小値になるはずで、
##したがって、f(0,0)=0より小さい値はとらないはずですが、
##x=0.2, y=0.05 とすれば、f(x,y)<0 です。

ちゃんとf(x,y)がどういう時に正や負になるか考えましょう。
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61224.Re: 2変数関数の極値  
名前:きょうれつ    日付:2019年08月11日(日) 21時26分
(0,0)以外の時、
x軸上ではf(x,y)=2x^2>0
y軸上ではf(x,y)=y^2>0
(0,0)では極小値、であってますか?
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61143.Re: 2変数関数の極値  
名前:黄桃    日付:2019年08月06日(火) 23時40分
>f(x)=(y-x^2)(y-2x^2)
と書くと、f(x)はxの4次関数になりますから、f(x,y)=(y-x^2)(y-2x^2)のこととしますね。

極値の判定は1変数の場合と同じです。
1変数で、f(x)=x^4 や f(x)=x^3 の場合、いずれも f’(0)=f’’(0)=0 なので f’’(0)では、x=0 での極値判定ができません。
そういう時は、x=0付近でのf(x)の増減を見るしかありません。

同様に、f(x,y)での極値候補が(0,0)で、ヘッセ行列式が0になるのであれば、(0,0)付近でのf(x,y)の増減を調べるしかありません。
2変数の場合は近づき方にいろいろな方向があるので、単純にfx や fyだけから判断はできません。
この問題の場合は、f(0,0)=0 ですから、f(x,y)が(0,0)の近くで
常に0以上なら極小、
常に0以下なら極大、
両方とも取るなら鞍点
として判定できます。
f(x,y)≧0,f(x,y)≦0となるようなx,yの範囲は f(x,y)の形から容易にわかります(実数A,Bについて、AB>0⇔A,Bが同符号)ので、
これらの領域が(0,0)の近くでどうなっているか調べてお考えください。
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61118.2変数関数の極値  
名前:かん    日付:2019年08月06日(火) 01時16分
f(x)=(y-x^2)(y-2x^2)
この式の極値を求めたいのですが、ヘッセ行列式がゼロになってしまいました。ヘッセ行列式がゼロになった場合、どのようにして極値を判定するのでしょうか?
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