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61046.Re: (untitled)  
名前:黄桃    日付:2019年08月02日(金) 08時54分
以下は既知とします。

[P1]平面上の1次変換は1次独立な2つのベクトルの行く先によりただ1つ決まる
[P2]平面において、原点を通る直線に関する対称移動は1次変換。

1について

f(A1)=A1 なら証明することはない。

そうでないとする。f(A1)=A2,A3,A4,A5 のいずれか。
f(A1)=A2 の時。
ff(A1)=A1 より、f(A2)=A1. [P1]より、この条件で1次変換fはただ1つに決まり、
しかも、A1A2の垂直2等分線、すなわち、OA4に関する対称移動は[P2]によりこの条件をみたす。
したがって、fは直線OA4に関する対称移動である。

他の場合もまったく同様に f はOといずれかの頂点を結ぶ直線に関する対称移動とわかります。

2について
f(A1)=A1であり、fは恒等変換ではないから、f(A2)≠A2 である(もしそうなら、[P1]よりfは恒等写像)。
1での考察と同様に、f(A2)=Ai とすれば、fは A2,Aiの垂直2等分線に関する対称移動。
f(A1)=A1より、この垂直2等分線はOA1に等しい。したがって、f(A2)=A5, f(A3)=A4である。
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61023.(untitled)  
名前:りこ    日付:2019年08月01日(木) 03時04分
平面上に原点Oを中心とする正五角形A1A2A3A4A5がある。恒等変換ではないこの平面上の1次変換fが次の性質をもつものとする。

すなわち、この正五角形の各頂点Ai(i=1,2,3,4,5)に対して、それぞれ1つの頂点Ajがあってf(Ai)=Ajをみたし、かつ、任意のiについて、f(f(Ai))=Aiとなる。

このとき次の問いを証明せよ。

1、f(Ak)=AkとなるAkが存在する。
2、f(A1)=A1とすれば、f(A2)=A5かつf(A3)=A4である。
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