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61110.Re: 雪江先生 代数学群論の問題  
名前:だにー    日付:2019年08月04日(日) 22時41分
>nakaiti様

遅くなりました。
そういう理解ですね。

積をとるのは気づきませんでした。
理解できました。ありがとうございました!!
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61039.Re: 雪江先生 代数学群論の問題  
名前:nakaiti    日付:2019年08月01日(木) 22時10分
G1,G2 の単位元を e1,e2 と表すことにします。

まず Φ(g1,g2)=Φ_1(g1)Φ_2(g2) という表記についてですが、これは G1,G2 を G1×G2 の部分群 G1×{e2},{e1}×G2 と同一視して積をとったものなので Φ(g1,g2)=(Φ_1(g1),Φ_2(g2)) と同じ意味と理解して大丈夫です。

問題の解答ですが g1∈G1 として
Φ(g1,e2)=(h1,h2)
と表したとき h2=e2 であることが次のようにして分かります。
n1 と n2 は互いに素なので自然数 a で
an2≡1 (mod n1)
となるものが存在します。このとき
Φ(g1,e2)=Φ(g1,e2)^{an2}
=(h1,h2)^{an2}=(h1^{an2},h2^{an2})=(h1,e2)
となるので h2=e2 がわかります。
よって g1 に対してこの h1 を対応させることにより準同型 Φ_1 が得られます。Φ_2 も同様に定義できて、このように定義した Φ_1,Φ_2 が必要な性質を満たすことは簡単に確認できます。
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61022.雪江先生 代数学群論の問題  
名前:だにー    日付:2019年07月31日(水) 22時56分
2.9.2に次のような問題があります。
G1、G2が有限群、n1=|G1|、n2=|G2|は互いに素とする。Φ:G1×G2→G1×G2を準同型なら、準同型Φ_1:G1→G1、Φ_2:G2→G2があり
任意の(g1,g2)∊G1×G2に対してΦ(g1,g2)=Φ_1(g1)Φ_2(g2)となることを証明せよという問題があるのですが結論は左辺はG1×G2の元、右辺はG1とG2の積(定義できるのですか?)となっております。これって本当はΦ(g1,g2)=(Φ_1(g1),Φ_2(g2))ということですか?実際に訂正して解いていただけるとありがたいです。
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