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61045.Re: 集積点と点列の収束  
名前:黄桃    日付:2019年08月02日(金) 08時53分
質問内容が曖昧過ぎます。
距離空間(あるいは位相空間)X の部分集合A について、Aの集積点、というのは定義できます。
距離空間Xの元からなる点列{x[n]}について、{x[n]}がXの点xに収束する、というのは定義できます。
点列{x[n]}について、A={x[n]|n∈N}とおけば、Aの集積点の集合は定義できます。
以下、Aと書いたらこの集合を意味するものとします。

aがAの集積点、といったら、aのどんな近傍にもa以外のAの点がある、ということです。a以外というところがポイントです。
点列{x[n]}が a と異なる点を(無限に)取りながらaに収束するなら、aはAの集積点ですが、
そうでない(例えば、n>N なるすべてのnで x[n]=a)なら、aに収束してもaは集合{x[n]|n∈N}の集積点ではありません。

以上をふまえると以下が言えます。

{x[n]}がxに収束⇒ A=φ または、 A={x}
A=φ ⇒ {x[n]}は収束しない、または、「{x[n]}は収束し、かつ、有限個を除いて x[n]は同じ値」 

(A=φで収束しない場合には、x[n]=(-1)^n のような例もある)
A≠φ ⇒ ∀a∈A ∃{x[n_k]} ({x[n]}の部分列) x[n_k]→a as k→∞

なお、A={x} だからといって、x[n]→x とは限らない (反例: x[n]=-1 (n:偶数), 1/n (n:奇数) とすれば、A={0}だが、x[n]は収束しない)

i≠j ⇒ x[i]≠x[j] であれば、{x[n]}が収束 ⇔ Aが1点

さて、お知りになりたいことはどのようなことでしょうか?


fp276e1bf1.chbd224.ap.nuro.jp (39.110.27.241)

61000.集積点と点列の収束  
名前:りなこ    日付:2019年07月31日(水) 11時04分
集積点の概念と点列の収束の概念がごっちゃになっているので、明確な違いを教えて欲しいです
背景としては、既に自己解決している
「点列コンパクト⇒可算コンパクト
はT1分離公理を満たす空間に対してしか成り立たないのか?」
という疑問に端を発しています
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