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DS 数学 BBS・2
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61090.Re: 級数/剰余項  
名前:りなつ    日付:2019年08月03日(土) 19時41分
ありがとうございます!!助かりました!
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61052.Re: 級数/剰余項  
名前:nakaiti    日付:2019年08月02日(金) 09時23分
すみません。{S[2k]} は単調減少です。打ち間違えていました。

lim(S[2k]-S[2k-1])=0

についてですが、これは簡単で

S[2k]-S[2k-1]=1/(2k)

なのでこの k→∞ における極限は 0 です。
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61043.Re: 級数/剰余項  
名前:りなつ    日付:2019年08月02日(金) 07時44分
もう1つすみません。

(2)のlim(S2k-S2k-1)=0になるまでのくだりがわかりません…

よろしくお願いします。

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61041.Re: 級数/剰余項  
名前:りなつ    日付:2019年08月02日(金) 07時37分
ありがとうございます。

(2)の最後らへんの単調増大は単調増加と同じということでよろしいですか??

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60978.Re: 級数/剰余項  
名前:nakaiti    日付:2019年07月30日(火) 10時33分
細かい計算は省略するので自分で確かめてくださいね。

(1)まずa>1で収束することを示します。級数の各項 1/n^a は正の数なので部分和 S[N]=Σ[n=1→N]1/n^a は単調増加数列であることがわかり、したがって数列 {S[N]} が上に有界であることを示せば十分です。y=1/x^a のグラフを考えて
Σ[n=2→N]1/n^a<∫[1→N]1/x^adx<∫[1→∞]1/x^adx
となることがわかるので任意のNについて
S[N]<1+∫[1→∞]1/x^adx<∞
より {S[N]} は上に有界であることがわかります。

次に a≦1 で発散することを示します。同様にグラフから
∫[1→∞]1/x^a<Σ[n=1→∞]1/n^a
がわかり、この左辺は∞となるので発散することがわかります。

(2)部分和を S[N]=Σ[n=1→N](-1)^n/n とします。N=2k-r (k:整数, r=0 or 1) と表したとき
S[2k-1]≦S[N]≦S[2k]
が成り立つので
lim[k→∞]S[2k-1]≦lim[N→∞]S[N]≦lim[k→∞]S[2k]
が成り立つことがわかります。このとき
・数列 {S[2k-1]}は単調増加
・数列 {S[2k]} は単調増大
よりこの二つの数列は収束することがわかり、さらに
・lim[k→∞](S[2k]-S[2k-1])=0
よりその収束先は一致することがわかります。よって挟み撃ちの原理より数列 {S[N]} は収束します。

(3)cos(x) の n階導関数は cos(x+nπ/2) なのでラグランジュの剰余項を用いるとn次の剰余項は
cos(ξ+nπ/2)x^n/n!
となります。ただしξはxによって決まる開区間 (0,x) 上のある実数です。
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60970.級数/剰余項  
名前:りなつ    日付:2019年07月29日(月) 20時25分
大学数学の質問です。

(1)aを正の実数とし、級数(n=1~∞)1/(n^a)を考える。この級数がa>1では収束し、a≦1では∞に発散することを示せ

(2)級数(n=1~∞)(-1)^n/nが収束するか調べよ



(3)cos(x)にTaylorの定理を応用してn次の剰余項を求めよ

です。よろしくお願いします。

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