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60964.Re: 位相  
名前:名無し    日付:2019年07月28日(日) 22時34分
位相空間(X,O)に対して、集合Xの部分集合族Cを
C={A⊂X | X-A は位相Oでコンパクト} ∪ {φ} とする。

問1 位相空間(X,O)がHausdorffのとき,Cは(Oとは異なるかもしれない)Xの位相であることを示せ.
証明:位相となるための3つの条件が成り立つことを確認する.
   @φは明らかにコンパクトよりX∈C. またCの定義よりφ∈C.
    よって,X,φ ∈C.
   AC_1, C_2∈Cとすると,X-C_1, X-C_2は位相Oでコンパクトなので
    X-(C_1∩C_2)=(X-C_1)∪(X-C_2)も位相Oでコンパクト.
    よって,C_1∩C_2 ∈X.
   B {C_λ}_(λ∈Λ) ⊂Cとすると,X-C_λは位相Oでコンパクト.
    「Hausdorff空間(X,O)でコンパクト⇒閉」よりX-C_λは位相Oでも閉集合.
    任意個の共通部分∩(X-C_λ)も閉集合.
    「コンパクト空間で閉⇒コンパクト」を用いると,
    X-C_λ(λ∈Λ):コンパクト の部分集合かつ閉である∩(X-C_λ)もコンパクト.
    つまり,∩(X-C_λ) = X-∪(C_λ) :コンパクト
    よって,∪(C_λ) ∈C.

問2 位相空間(X,O)がHausdorffのとき,位相空間(X,C)はコンパクトであることを示せ.
証明:(X,C)の任意の開被覆を{C_λ}_(λ∈Λ) とする.
   問1と同様にして,X-C_λは位相Oでコンパクトかつ閉.
   C_λは位相Oでも開.つまり,(X,C)の開被覆は(X,O)でも開被覆になることがわかった.
   いま,C_k∈{C_λ}をひとつとってくる.X-C_kはOでコンパクトより
   有限個のC_1,C_2,...,C_nを選んでX-C_k⊂C_1 ∪ C_2 ∪...∪ C_n とできる.
   よって,X⊂ C_1 ∪ C_2 ∪...∪ C_n ∪ C_kとなり(X,C)の開被覆{C_λ}は有限部分被覆をもつ.
   よって,(X,C)はコンパクト.



問1Bの4,5行目が不安ですが、解答書けました。間違っていたらご指摘くださると嬉しいです。
問題文に訂正があったことをお詫びします。
112-68-168-127f1.shg1.eonet.ne.jp (112.68.168.127)
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60963.Re: 位相  
名前:名無し    日付:2019年07月28日(日) 20時02分
問題が訂正されました。問1が修正されます。


位相空間(X,O)に対して、集合Xの部分集合族Cを
C={A⊂X | X-A は位相Oでコンパクト} ∪ {φ} とする。

問1 位相空間(X,O)が Hausdorff のとき、Cは(Oとは異なるかもしれない)Xの位相であることを示せ.

問2 位相空間(X,O)が Hausdorff のとき、位相空間(X,C)はコンパクトであることを示せ.
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60962.Re: 位相  
名前:名無し    日付:2019年07月28日(日) 17時35分
問題を確認しましたが条件の抜け落ちなどは見当たりませんでした。
自分も考えてみましたが問1で、位相となるための条件一つである「Cに属する開集合の無限個の和集合もまたCに属する」がどうやっても示せませんでした。

もしかすると問題が間違っているのかもしれません。お手数をおかけして申し訳ないです。
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60961.Re: 位相  
名前:nakaiti    日付:2019年07月28日(日) 14時24分
このままでは(1)が証明できない気がするのですが条件が抜けたりしてませんか?例えば
C={A∈O|X-A:コンパクト}
とかなら(1)が成り立つのですが…
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60953.位相  
名前:名無し    日付:2019年07月27日(土) 14時02分
急ぎなので掲示板を使うことにしました。
以下の問題の解答がわかりませんでした。教えていただけたらありがたいです。

位相空間(X,O)に対して、集合Xの部分集合族Cを
C={A⊂X | X-A は位相Oでコンパクト} ∪ {φ} とする。

問1 Cは(Oとは異なるかもしれない)Xの位相であることを示せ.

問2 位相空間(X,O)が Hausdorff のとき、位相空間(X,C)はコンパクトであることを示せ.
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