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60910.等ポテンシャル線と流線  
名前:アイスマン    日付:2019年07月21日(日) 17時24分
正則関数
複素関数論 持ち帰り期末試験 (締め切り 7/22)
f (z) = Φ(x, y) + √−1Ψ(x, y) f′(z) = u(x, y) − √−1v(x, y)
と, その微分
を考える. ここで u, v の置き方, および v の符号に注意すること.
地図の等高線のように実数の定数 c をいろいろと動かして Φ(x,y) = c,Ψ(x,y) = c
の表す平面内の曲線の族を考える. これらの曲線をそれぞれ f(z) の等ポテ ンシャル線, 流線と呼ぶ. このとき
(∂Ψ ∂Ψ) (u,v)= ∂y,−∂x
は流れを表す流線の速度ベクトル, また (∂Ψ, ∂Ψ)
∂x ∂y
法線ベクトル(流線に各点で直交するベクトル)に対応している. さらに
平面上の単純閉曲線 C に沿った積分 ∫ て流出する流量を表す.
C
f′(z)dz の虚数部分は C を横切る流量を表す。

. 等ポテンシャル線と流線は直交することを示せ.
2. 以下の関数の等ポテンシャル線と流線を図示せよ.またそれぞれの
関数に関して ∫ (↓c)f'(z)dzを求めよ。(C: |z|=1)
(a)f(z) = 2z
(b)f(z) = 2logz
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