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DS 数学 BBS・2
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60905.Re: f(x)が有界閉区間[a,b]上で有界であることの証明  
名前:ぽけっと    日付:2019年07月20日(土) 10時27分
c ∈ [a,b] を任意に固定して考えます。

点cにおける右からの極限をR, 左からの極限をLとすれば、極限の定義から、ある正数δR, δLが存在して
* c < x < c + δR ならば |f(x) - R| < 1
* c - δL < x < c ならば |f(x) - L| < 1
が成り立ちます。

よって下記のように十分大きい(しかし有限な!)区間
A = [ min(-|R|-1, -|L|-1, f(c)), max(|R|+1, |L|+1, f(c)) ]
を考えれば、次が成り立ちます。
* x∈(c-δL, c+δR) ならば f(x)∈A


さて、ここからはcを固定せずに考えます。
上で言えたことは、次のように書くこともできます。

任意の c ∈ [a,b] に対して、cを含む開区間Bcと有限区間Acが存在して次を満たす
* x∈Bc ⇒ f(x)∈Ac

このとき、{Bc}c∈[a,b] は有界閉区間[a,b]の開被覆になっています。
よって[a,b]のコンパクト性(もしくはハイネボレルの被覆定理といってもいい)から、
* {Bc}c∈[a,b] から有限個の要素を選べば、その合併が[a,b]を被覆する
と言えます。

選んだ有限個のBcに対応するAcの合併を考え、その上限sと下限i(有限個なので有限値!)を考えれば
x∈[a,b] ⇒ f(x)∈[i, s]
となるのでfは[a,b]上 有界です。
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60904.f(x)が有界閉区間[a,b]上で有界であることの証明  
名前:もん    日付:2019年07月20日(土) 02時03分
f(x)は有界閉区間[a,b]上で定義された関数で各点xにおいて右側からの極限と左側からの極限がそれぞれ有限値として存在するものとする。このときf(x)が[a,b]上で有界であることを示せ。


という問題なのですが解答が分かりません。有界閉区間上で連続な関数はその区間で有界であるということを利用するのかと思ったのですが、、、。

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「60904.f(x)が有界閉区間[a,b]上で有界であることの証明」への返信

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