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60825.Re: 位相数学、位相空間  
名前:tachikawa    日付:2019年07月16日(火) 22時50分
1, 4 は出題が漠然としてて何を答えたらいいのか難しいですね。(まあ、あまり的外れなことを書かなければ正解なのかな?)
とりあえず 2, 3 だけ

2.
連続性の定義(任意の開集合の引き戻しが開集合)に立ち戻って考えるとできるかと思います。
ヒントとして、より一般に、以下のことが証明できます。

X, Y を位相空間とし、f: X→Y とする
1) X に離散位相が入っているとき f は連続
2) X に密着位相が入っているとき、f が連続であることと f の値域 f(X) が一点集合であることは同値

3.
いろいろ答えはあるのでしょうが、たとえば(習っていれば)商空間を考えるとやりやすいのではないでしょうか。
ざっくりと説明します。

X3 は「ユークリッド平面 R^2 上の三角形の合同類全体」として定義されていますが、「合同類」を考える前の「ユークリッド平面 R2 上の三角形全体」の空間に位相が入れば、X3にも「合同なものを同一視する」という同値関係によって、商位相が誘導されます。
となると「ユークリッド平面 R^2 上の三角形全体」(この集合に と名前をつけましょう)をどのように定義するかという問題になります。これは、たとえば三角形の各頂点の座標を A(x_1,y_1) B(x_2,y_2) C(x_3, y_3) とし、各頂点を区別することにすれば、 := {(x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3) ∈ R^6 | 3点 (x_1,y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) は同一直線上にない }のように定義できます。
すると を R^6 の部分空間とみなせるので に位相が入ります。そのうえ、 に対してその面積 R を対応させる Area~: 凵ィR が定義されます(問題文の Area と区別するために ~ をつけました)。Area~ は連続であることがいえ(これは Area~ が x_i と y_i の簡単な式で表せることからいえます)、しかも合同な三角形に対し Area~ の値は一定なので、Area~ は Area を誘導し、商写像の普遍性より Area も連続であることがわかります。

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60824.位相数学、位相空間  
名前:ゆう    日付:2019年07月16日(火) 12時19分
位相数学についての質問です。
現在位相数学を学んでいる大学3回生です。
授業内で次のような問題を出題されたのですが、回答の糸口もつかめません。
何かヒントでも大丈夫ですのでお知恵をお貸しいただけるとありがた
いです


問題:平面 R2, 実数直線 R1 には通常の距離からユークリッド位相を入れ る. X3 をユークリッド平面 R2 上の三角形の合同類全体とする. すなわち 三角形全体を考え, 合同なものは同じとみなした集合が X3 である. さらに X3 の要素である各三角形にその三角形の面積を対応させる関数を
Area : X3 → R とおく.
1. X3 はどのような集合か調べよ.
2. 離散位相を入れると Area は連続かどうか, 密着位相を入れると Area
は連続かどうか, をそれぞれ調べよ.
3. 離散位相, 密着位相とは異なる X3 の位相で, Area が連続となるもの
を一つ具体的にあげ, 実際に位相になっていること, Area が連続であ
ることを示せ.
4. 面積が 1 となる三角形の全体, すなわち Area による 1 の逆像
Area−1(1) ⊂ X3 に前問で入れた X3 の位相の相対位相を入れる. Area−1(1) はどのような空間になるか調べよ.
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