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60811.Re: ベルヌーイの微分方程式  
名前:いよ    日付:2019年07月13日(土) 20時02分
ありがとうございます。
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60795.Re: ベルヌーイの微分方程式  
名前:山旅人    日付:2019年07月13日(土) 00時33分
> y の分子=10^(1/4)e^(10x)
ではなく

 y の分子=10^(1/4)・40・e^(10x)

でした。修正できなくて,済みません。
 

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60794.Re: ベルヌーイの微分方程式  
名前:山旅人    日付:2019年07月13日(土) 00時21分
> yとxだけの式に戻すときの処理
そんなに難しいことではないと思いますが…

 u=1/y^4=Ce^(−40x)−x^5/10+x^4/80−x^3/800+3x^2/32000−3x/640000+3/25600000

ですから,y^4=1/u,y=(1/u)^(1/4) (←4乗根) ですが,通分した形がご所望ならば

 1/u を通分した分子=2560000e^(40x)
        分母=C’−e^(40x)(2560000x^5−320000x^4+32000x^3−2400x^2+120x−3)
で,
 y の分子=10^(1/4)e^(10x)
   分母=(↑の分母)^(1/4) …(#)

となります。下のリンク先には y の一般解が4通り書いてあります。y を複素数まで広げるならばその通りですが,通常は実数でしょうから(#)でよいでしょう。
しかしながら,そうすると,定数 C’を与えたときに u を正とする x を求めることが非常に煩わしくなりそうです。
 

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60792.Re: ベルヌーイの微分方程式  
名前:いよ    日付:2019年07月12日(金) 23時01分
ありがとうございます!

積分因子がexp(40x)になること、部分積分が連続すること等は理解できたのですが、
最後の最後で「y=〜」の形にする方法がわからないのです。

具体的に言うと、最後の最後でuを使わずにyとxだけの式に戻すときの、
分数たちの処理(通分?)や、累乗根の扱い、積分定数の扱い等が、
どのようにすれば良いのかがわかりません。

というか、「飛び道具」すごいですね。
あそこまで至る「計算過程」が知りたいのです。

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60788.Re: ベルヌーイの微分方程式  
名前:山旅人    日付:2019年07月12日(金) 21時58分
> ここから先
の計算があまりにも煩雑すぎるため,多くの回答者の食指が動かないのでしょう。

このような質問をされるのですから,1階線形微分方程式
 y’+f(x)y=g(x) …(*)
の一般解が
 y=(1/h(x))(∫h(x)g(x)dx+C) …(**), h(x)=e^(∫f(x)dx), C は定数
であることはよろしいですね。

 u'+40u=−4x^5 …(1)
と(*)を比較すると,f(x)=40, g(x)=−4x^5 ですから,上の
 h(x)=e^(40x) …(2)
 ∫h(x)g(x)dx=−4∫e^(40x)・x^5dx …(3)

(3)は部分積分を5回繰り返せばできますが,筆算で行うには…!!!

今は飛び道具があるのですから,(3)= こちら で,これから(**)を作ったものが(1)の一般解 u(x) です。

冗長に書きましたが,途中で飛び道具を使うのであれば,
 こちら こちら
のように最初から使ってしまうのがよいでしょうね。

ところで,最初の微分方程式は,何か自然現象または社会現象の動向を表すものなのですか?
単なる演習問題だとしたら,あまりにも非現実的です。私見ですが…
 

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60787.ベルヌーイの微分方程式  
名前:いよ    日付:2019年07月12日(金) 10時15分
y'−10y=(x^5)(y^5)

これは、u=y^(−4)を導入することで、
u'+40u=−4x^5と変形できると思うのですが、
ここから先、計算して最後の「y=〜」の形にするには、
どのように計算を進めれば良いのでしょうか?

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