[ ホームページ ] [ 携帯用URL ]
DS 数学 BBS・2
小中高の範囲は DS 数学 BBS(携帯電話用)へ。
数学以外の話題は赤猫雑談掲示板で。
注意事項, 記号の書き方例をお読みになった上でご利用ください。

[ EZBBS.NET | 新規作成 | ランキング | オプション ]
iモード&(絵文字)、au対応!ケータイからも返信できる無料掲示板!
名前
 E-mail 
題名
内容

投稿KEY    タグ有効 改行有効 等幅フォント
URL
 
掲示板のTOP | 過去ログ集 | 投稿練習 | よく質問される問題 | エッセイblog



60763.Re: (untitled)  
名前:山旅人    日付:2019年07月02日(火) 19時48分
あれ?!?,そうですね。色々なことをゴチャ混ぜにしておりました。勘違いも甚だしい!
60750. 60753. とも,全て撤回します。
板を汚し,失礼致しました。
 

KD124213208095.ppp-bb.dion.ne.jp (124.213.208.95)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; WOW64; Trident/7.0; rv:11.0) like Gecko

60761.Re: (untitled)  
名前:通りすがり    日付:2019年07月02日(火) 19時23分
山旅人 さん

さるさんがご指摘の通り h(x) は多項式ではありませんので,修正案のものでも,未だに不備があります.

そもそも h 多項式であっても,山旅人さんの議論は機能しません.

例えば,g(x) = x, h(x) = x + 1 と定めると,任意の x ∈ (0,∞) に対し h(x) > g(x) > 0 ですが,h'(x) = g'(x) です.
p1911184-ipngn201114fukuokachu.fukuoka.ocn.ne.jp (180.5.73.184)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; Win64; x64; rv:67.0) Gecko/20100101 Firefox/67.0

60757.Re: (untitled)  
名前:さる    日付:2019年07月02日(火) 00時51分
>h(x)=sin(x)−x+x^3/6
は多項式じゃないと思いますが。
ae173054.dynamic.ppp.asahi-net.or.jp (14.3.173.54)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; WOW64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/68.0.3440.106 Safari/537.36 Kinza/4.9.1

60753.Re: (untitled)  
名前:山旅人    日付:2019年07月01日(月) 21時19分
>> らすかる さん
ご指摘有り難うございます。度重なるお粗末,恐縮です。
60750.太字 部分加筆しました。
 

KD124213208095.ppp-bb.dion.ne.jp (124.213.208.95)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; WOW64; Trident/7.0; rv:11.0) like Gecko

60752.Re: (untitled)  
名前:らすかる    日付:2019年07月01日(月) 21時05分
> 山旅人さん
たびたびすみません。

> h(x), h'(x), h''(x), h'''(x) は全て十分に小さいから
>  0<g(x)<h(x) …(1)
>  0<g'(x)<h'(x) …(2)
>  0<g''(x)<h''(x) …(3)
>  0<g'''(x)<h'''(x) …(4)
>  0<g(4)(x)<h(4)(x) …(5)
> が全て成り立つことが必要。

一般の関数では(2)〜(5)は必要ではありませんので、
もし「多項式関数なら言える」ということでしたら
その旨書く必要があると思います。

例えばg(x)=x-x^3/6+(x^5/120-x^7/5040)(sin(1/x))^2とすると
0<g(x)<h(x)ですが
どんなに0に近い範囲でも
0<g'(x)<h'(x)は成り立ちません。

pl11706.ag1001.nttpc.ne.jp (210.165.72.186)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; Win64; x64; rv:67.0) Gecko/20100101 Firefox/67.0

60750.Re: (untitled)  
名前:山旅人    日付:2019年07月01日(月) 21時16分
何とも雑でお粗末な回答を書いてしまい,お恥ずかしい限りです。これが定期考査の問題だったとしたら,ほとんど 0 点ですね。
済みませんがレス 60743. は無かったことにしていただいて,仕切り直し。

題意を満たす4次多項式 f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e が存在するとして,
g(x)=f(x)−x+x^3/6, h(x)=sin(x)−x+x^3/6 と置くと
 g'(x)=4ax^3+(3b+1/2)x^2+2cx+d−1, h'(x)=cos(x)−(1/2)x^2−1
 g''(x)=12ax^2+(6b+1)x+2c, h''(x)=−sin(x)−x
 g'''(x)=24x+6b+1, h'''(x)=−cos(x)−1
 g(4)(x)=24a,h(4)(x)=sin(x)

以下,十分に小さい x についてのみ考える。

g(x), h(x) は多項式で (←加筆しました)
h(x), h'(x), h''(x), h'''(x) は全て十分に小さいから
 0<g(x)<h(x) …(1)
 0<g'(x)<h'(x) …(2)
 0<g''(x)<h''(x) …(3)
 0<g'''(x)<h'''(x) …(4)
 0<g(4)(x)<h(4)(x) …(5)
が全て成り立つことが必要。
しかしながら,h(4)(x)=sin(x) は十分に小さくなれるから,a≠0 である限り(5)が満たされることはない。
以上より題意を満たす4次多項式 f(x) は存在しない。
 

KD124213208095.ppp-bb.dion.ne.jp (124.213.208.95)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; WOW64; Trident/7.0; rv:11.0) like Gecko

60749.Re: (untitled)  
名前:通りすがり    日付:2019年07月01日(月) 19時27分
横から失礼します.

まず,ヨッシーさん: 色々と投稿してらっしゃいますが,人に尋ねる際は,礼節を弁え誠意をもってお願いした方がきちんと回答が得られると思います.回答者側も人間ですから.

山旅人さん: 既にさるさん,らすかるさんからご指摘があったように,ご提示の方法にはギャップがあるかと存じます.

このままでは板汚しになりますので,解答案を提示しておきます.但し,テイラー展開を直接利用しないものの,本質的には似たようなことを行っています.

解答案: 問題の条件を満たす 4 次多項式 f が存在することと,(0, π/2] 上 sin(x) - x + x^3/6 > f(x) > 0 を満たす 4 次多項式 f が存在することは同値.

ロピタルの定理を複数回利用することで

x -> +0 のとき (sin(x) - x + x^3/6)/x^5 は収束する

ことが分かるので,上述の f が存在するならば

 x -> +0 のとき f(x)/x^5 も収束する

ことになるが,その為には f の次数は 5 以上でなければならない(ロピタルの定理を利用すれば,次数 4 以下の多項式 g に対し,x -> + 0 のとき g/x^5 は発散することが示せる).
p1911184-ipngn201114fukuokachu.fukuoka.ocn.ne.jp (180.5.73.184)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; Win64; x64; rv:67.0) Gecko/20100101 Firefox/67.0

60746.Re: (untitled)  
名前:さる    日付:2019年07月01日(月) 12時45分
不等式
f(x)<=g(x)
が成立していても、その微分
f'(x)<=g'(x)
は成立しないと思いますが。
UQ036011224184.au-net.ne.jp (36.11.224.184)
Mozilla/5.0 (Linux; Android 7.0; P008) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/75.0.3770.101 Safari/537.36

60744.Re: (untitled)  
名前:らすかる    日付:2019年07月01日(月) 12時29分
> 山旅人さん
> (1)が成り立つためには,各辺を次々に微分した
(中略)
> が [0,π/2] で全て成り立つことが必要

これを(※)とします。

(※)は何かの定理ですか?

単純に考えて

問題
0<x<2/3において
-x^2+2x<f(x)<-2x^2+3x
を満たすような三次多項式f(x)は存在するか?

という同様の問題があったとき

解答
f(x)=ax^3+bx^2+cx+dとおいて辺々微分すると
-2x+2<3ax^2+2bx+c<-4x+3 … (*)
(*)が(0,2/3)で成り立つことが必要だが、
1/2<x<2/3のとき-2x+2>-4x+3となって
(*)の不等式が満たされないので
条件を満たすf(x)は存在しない。

という解答が正しくなりそうですが、
f(x)=(1/3)x^3-2x^2+(8/3)xとすると
条件を満たしますので、上の解答は間違いです。

(※)を満たすために何か条件が必要で、
私が書いた問題はその条件を満たしていないということでしょうか?

# 私が何か勘違いしているのかも知れませんが、
# その際は御容赦下さい。

pl11706.ag1001.nttpc.ne.jp (210.165.72.186)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; Win64; x64; rv:67.0) Gecko/20100101 Firefox/67.0

60743.Re: (untitled)  
名前:山旅人    日付:2019年07月01日(月) 11時30分
題意を満たす4次多項式 f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e (a≠0) が存在したとして
x→0 で x−x^3/6→0, sin(x)→0 だから

 [0,π/2] で x−x^3/6≦ax^4+bx^3+cx^2+dx+e≦sin(x) …(1)

として構わないでしょう。

(1)が成り立つためには,各辺を次々に微分した

 1−x^2/2≦4ax^3+3bx^2+2cx+d≦cos(x)
 −x≦12ax^2+6bx+2c≦−sin(x)
 −1≦24ax+6b≦−cos(x)
 0≦24a≦sin(x) …(2)

が [0,π/2] で全て成り立つことが必要だが,a≠0 のとき(2)が x=0 で満たされない。
よって,題意を満たす4次多項式 f(x) は存在しない。 [証明了]
 

KD124213208095.ppp-bb.dion.ne.jp (124.213.208.95)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; WOW64; Trident/7.0; rv:11.0) like Gecko

60740.(untitled)  
名前:ヨッシー    日付:2019年06月30日(日) 23時40分
区間(0,π/2]においてsinx>f(x)>x -x^3/6となる4次多項式f(x)は存在しないことを証明せよ。ただしテイラー展開は使用しないこと
zaq771af0bd.zaq.ne.jp (119.26.240.189)
Mozilla/5.0 (iPhone; CPU iPhone OS 12_2 like Mac OS X) AppleWebKit/605.1.15 (KHTML, like Gecko) Mobile/15E148 YJApp-IOS jp.co.yahoo.ipn.appli/4.14.29


「60740.(untitled)」への返信

無料アクセス解析

アクセス解析の決定版!無料レンタルで最大100ページ解析!

特定の個人への誹謗中傷は無予告削除対象です。
   投稿KEY
   パスワード

EZBBS.NET produced by InsideWeb