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60734.Re: 有限集合上で定義された関数の連続性?  
名前:だにー    日付:2019年06月29日(土) 11時24分

大変遅くなり申し訳ございません。

自分はぽけっとさんの定義で考えていました。

とてもためになりました。お二方ともありがとうございました。
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60698.Re: 有限集合上で定義された関数の連続性?  
名前:黄桃    日付:2019年06月26日(水) 07時59分
「普通の定義」とは何かによります。

数学科などで使う「普通の定義」ならぽけっとさんのおっしゃる通り。

古典的な0<|x-a|<δ風の仮定をおく「普通の定義」、つまり、
関数f(x)が x=a で連続とは、
aは定義域に属しかつ、定義域の集積点であり、次を満たす:∀ε>0∃δ>0 0<|x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε
であれば、孤立点では連続性が定義できませんので、連続とはいえません。

前者の流儀では、極限を触点(孤立点か集積点)で考えるものとしますが、後者の流儀では極限も集積点でしか考えないことになります。
理論構成上は前者の方が例外をなくせるので便利です(特に合成関数を扱う場合、定数関数のようなものを別扱いしなくてよいので)が、今でも実関数を対象にする場合は後者の定義(素朴な極限のイメージに近い)を採用する時もあるようです。
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60697.Re: 有限集合上で定義された関数の連続性?  
名前:ぽけっと    日付:2019年06月26日(水) 02時43分
連続です。

位相空間上の連続写像は、「任意の開集合の引き戻しが開集合となる写像」として定義されます。
件の有限集合の場合、任意の部分集合が開集合なのでこの条件は自明に満たされます。
さらに言えば、距離空間でもあるのでε-δの議論で連続性を定義することもでき、もちろんこちらの(上と同値な)定義を採用した場合でも自明な議論で連続性が言えます。


>> 普通は連続関数において区間で定義された
関数を扱いますが、

位相空間論(距離空間論)的には、この関数も十分「普通」な連続関数です。
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60696.有限集合上で定義された関数の連続性?  
名前:だにー    日付:2019年06月25日(火) 12時37分
有限集合で定義された例えば{0,1}
で定義された関数f(0)=1,f(1)=0を考えます。
ただし{0,1}はC上の部分集合とし定義域においても
値域においても、ユークリッド距離による通常の位相を
考えるとき、この関数は連続ですか?
普通は連続関数において区間で定義された
関数を扱いますが、このような関数においては
連続とかの概念はどうなるんでしょうか?
普通の定義εδでは連続になる気がしますが。
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