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DS 数学 BBS・2
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60715.Re: (untitled)  
名前:カッティ    日付:2019年06月28日(金) 09時44分
行列Cのランクがrのとき、m×mの正則行列Tとl×lの正則行列Sで標準形
Dml=[Er,0][0,0] =T^(-1)CS(Dmlはm×lの行列, Erはr×rの単位行列、0は零行列)
にできる。

rank[A,C] = rank[A] なので、
Image A ⊃ Image C
また、明らかに、
Image C ⊃ Image CS なので、

Image A ⊃ Image CS

Image T^(-1)A⊃ImageT^(-1)CS

Image T^(-1)A⊃ImageDml

ここで、m×rの対角行列
Dmr = Σ=[Er,0][0,0]

を考えると、明らかに、
Image Dml = Image Dmr

Image T^(-1)A ⊃ Image Dmr
よって、n×rの適当な行列Yで
T^(-1)AY = Dmr
とできる。

同様の議論で、r×lの対角行列
Drl = Σ=[Er,0][0,0]
とr×kの適当な行列Zで
ZBS = Drl
とできる。

(T^(-1)AY)(ZBS)=(Dmr)(Drl)=Dml
AYZB = T(Dml)S^(-1)=C
X=YZと置けば
AXB =C

※可解性の判定条件
AX=Bが解けるための条件は
∃X,AX=B

ImageA ⊃ ImageB

rank[A,B]=rank[B]
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60690.(untitled)  
名前:あ@無課金    日付:2019年06月24日(月) 18時34分
大学一年の線形代数の問題です
m×n行列A, k×l行列B, m×l行列Cに対して
rank[A C]= rankAかつrank[B/C]= rankBが
AXB=C となるn×k行列Xが存在することと同値であることを示してください
B/Cとは(k+m)×l行列のことです
sp49-98-208-241.msd.spmode.ne.jp (49.98.208.241)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10_14_4) AppleWebKit/605.1.15 (KHTML, like Gecko) Version/12.1 Safari/605.1.15


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