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60693.Re: πの無理性について  
名前:のぼりん    日付:2019年06月24日(月) 21時37分
質疑と直接関係ないやりとりは、この辺でお開きにしましょうか。
また、既に議論も尽くされたようですので、今後このスレッドは更新なさらないようにお願いします。
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60692.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2019年06月24日(月) 19時12分
人間性については自分を良い人間だとは思っていませんし、どちらかと言えば悪いほうだと思います。

ただ、学者同士が議論するのは面白いことだと考えます。
安部先生のような変わり者と正々堂々とやりあえるのは、たとえば関西大学の先生のような正統派の学者でなければ難しいと思います。
http://abel.a.la9.jp/sub11.html
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60682.Re: πの無理性について  
名前:数学科の学部生    日付:2019年06月24日(月) 06時15分
好みの問題でしかありません、という一方で安部先生とやり合ってみてはと
嗾けるのは人間性を疑います。
KD182251250046.au-net.ne.jp (182.251.250.46)
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60680.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2019年06月24日(月) 01時18分
>こちらからも質問しましょう。
>あなたは、議論の前提領域としてペアノの公理系を考え、そこで文ψが
>証明できるのかどうかを確認しようとしているとしましょう。
>そこで背理法を使い、「¬ψとペアノの公理系」と前提として推論を進めていくことにしました。
>「¬ψとペアノの公理系」
>↓
>文A
>↓
>文B
>↓
>「1+1=3」
>あなたはこの状況で、1+1=3という文が正しいことだと理解しようとするのですか?
>もしそうならば、あなたは背理法の意味をわかっていない。

1+1=3が正しくないことだと考えます。
なぜならば、1+1=2だから。

背理法の証明中には正しくない主張が出現するということを理解していますし、それのおかげで矛盾を導けて、正しい背理法の証明が完了することも理解しています。
背理法が好きであれば、好きなだけ使ったら良いですし、背理法が正しい証明を生み出すのもよく理解しています。
私は背理法を用いない証明もあるよと言いたかっただけです。
実際に私は背理法を用いた証明のほうが好みだと宣言しているわけですし、背理法も良いツールの一つだと考えています。

二値論理の性質も理解しているつもりです。
偽の文を正しく否定すれば真の文になるのも理解しています。
ただ、背理法否定学者は偽の文の存在を極力なくしたいようです。
私は、その立場に立って議論を進めてきました。
ですので、喧嘩を売るような表現をしてしまいました。
誠に申し訳ありません。

確かに好みの問題でしかありません。
東京理科大学の安部教授は、背理法を「間抜けた証明」と2016年のシラバスに書かれていましたが…
関西大学ではマトモな教育をされていると思いますので、一度安部教授(すでに退官されていますが)とやり合ってみられてはいかがでしょうか?
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60667.Re: πの無理性について  
名前:数学科の学部生    日付:2019年06月22日(土) 13時08分
外から失礼します。Aという命題が真であることを証明したいときに、Aの否定命題から矛盾を導いて、Aが真であることを証明する、これが背理法で有効な証明方法ですよね。
ですが、察するにMorleyさんは真である命題のみを用いてAという命題を証明したいという少し変わった方なのではないでしょうか。別の方がおっしゃっているように好みの問題でそれ以上でもそれ以下でもない気がします。
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60664.Re: πの無理性について  
名前:TANTAN麺    日付:2019年06月21日(金) 20時59分
こちらからも質問しましょう。
あなたは、議論の前提領域としてペアノの公理系を考え、そこで文ψが
証明できるのかどうかを確認しようとしているとしましょう。
そこで背理法を使い、「¬ψとペアノの公理系」と前提として推論を進めていくことにしました。

「¬ψとペアノの公理系」

文A

文B

「1+1=3」

あなたはこの状況で、1+1=3という文が正しいことだと理解しようとするのですか?

もしそうならば、あなたは背理法の意味をわかっていない。
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60663.Re: πの無理性について  
名前:TANTAN麺    日付:2019年06月21日(金) 20時37分
誤った主張は、「誤っている」として理解すればいいんですよ。
真と偽を決定できるということが重要なのだから、言明が偽であるということは重要な情報であり、偽であると分かっているのだから、否定すれば真の文も作れるでしょう。

これが理解できないというのなら、二値論理の性質もよく分かっていないのでしょう。

はっきりと言っておきましょう。
「言明を数学的に理解する」ということは「その言明を正しいと認めること」とは全くの別概念です。
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60662.Re: πの無理性について  
名前:TANTAN麺    日付:2019年06月21日(金) 20時46分
>例えば「前提領域において成り立たない 1+1=3」
文言の通りに理解すればいいだけで、ペアノの公理を認める前提領域であれば、「1+1=3ではない」という情報が得られたということですよ。

文ψをペアノの公理系を前提とした領域で仮定したときに、ペアノの公理と矛盾する1+1=3というものが導出されるのなら、ペアノの公理と文ψを同時に立てる前提は矛盾に到達するという情報が得られたわけです。

>もし、1+1=3が正しいというのであれば、
背理法の途中で出てくるのならしめたもので、即矛盾が導けるのだからありがたいと感じる状況でしょう。
だれが好き好んで「正しい言明」として理解しようとするでしょうか?


>小学校から算数をやり直されるべきでしょう。
人のことを馬鹿にする前に、論理学の基礎と背理法の理屈を学ばれるのがよろしい。 ただし、この程度のことは論理学においても基礎中の基礎ですよ。
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60659.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2019年06月21日(金) 18時05分
>>背理法を用いた証明は、必ず途中に多くの誤った主張が並びます。
>>誤った主張は、正しい主張ではないので天才ですら理解できません。
>これも全くおかしな主張です。

例えば「前提領域において成り立たない 1+1=3」を正しく理解・納得せよといわれても困ります。
ペアノの公理から1+1=2でなければならず、天才でなくとも、これを理解・納得できます。
もし、1+1=3が正しいというのであれば、小学校から算数をやり直されるべきでしょう。
http://abel.a.la9.jp/sub11.html
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60643.Re: πの無理性について  
名前:TANTAN麺    日付:2019年06月21日(金) 01時42分
「背理法」や「背理法を用いない証明」について誤解があるようです。
古典論理の一階述語論理は完全かつ健全です。

理論Σにおいて背理法ではない証明が与えられ、定理φを得たなら、その証明を自明な方法ですぐさま背理法の証明に書き換えられます。
反対も然りで、背理法の証明が与えられ、定理φを得たなら、その証明を背理法ではない証明に書き換えられます。

実際の所、背理法で書かれているかどうかは数学的理解とは本質的には無関係で、好みの問題でしかありません。

>背理法を用いた証明は、必ず途中に多くの誤った主張が並びます。
>誤った主張は、正しい主張ではないので天才ですら理解できません。
これも全くおかしな主張です。

背理法でやっているのは、証明の舞台となる解析学やら代数学やらの理論の領域という前提があって、結果的に背理法で文φが定理として導けたのなら、その過程において、¬φを仮定して演繹によって得られる系列に現れる文(誤った主張とよんでいる部分)は、「その前提領域において成り立たない」という重要な情報を与えてくれるわけで理解できないわけではありません。
当然にそれらも適切に形式化して否定してやれば、その領域で成り立つ文になるのですよ。
121-82-222-152f1.hyg2.eonet.ne.jp (121.82.222.152)
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60641.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2019年06月20日(木) 22時11分
>そもそも、Cartwrightの証明とほぼ同じものを、原典を伏せて記述するのは、辞書の執筆としていかがなものでしょうか?
>また、wikipediaは独自研究の発表の場所ではないはず。

おっしゃる通り、表現が近い証明があるのは確かです。
東京理科大学の「安部直人」教授が以前に公開されたものを引っ張ってきました。レファレンスがあるかどうかを探してみます。

>新しい定理を証明して論文を書いている人を、背理法を使っているというだけで馬鹿にする発言ですか?

全然そんな気はありません。背理法も証明のための強いツールの一つです。むしろ、難問(今まで解けていない新しい問題)には背理法からアプローチすることも必要だと思います。

>そもそも排中律を用いて構成される理論(微分積分を排中律を使わずにきちんと構成しましたか?)を使っておきながら、「背理法を用いない証明」が正しくて、背理法を使うのは理解してない証左のような言動をするのはどうなんでしょう?

確かにそれを言われると言い訳はできません。
実際のところ、100%完璧に数学的意味を理解するのは至難の業なのが現状です。
背理法を用いないことで、少しでも数学的意味を理解できる部分を増やしたいというのが私の思いです。

>下記は正しいですか?
などと書く必要はないですね。

私は人間です。しかも、誤りの多い人間です。完璧だとよく勘違いをします。申し訳ありません。

>個人的に、無駄な背理法は減らした方が良いという意見はまあわかりますが、だからといって背理法を攻撃するような言明をするのには強く反対したいです。

あまり、背理法を攻撃しているわけではなかったのですが、語弊があったようで、強くあたっているように聞こえたかもしれません。
蛇足ですが、個人的には、ニーベン・インケリの背理法を用いた証明のほうが好みです。
背理法を用いない方法もあるよ!程度にしか思ってなかったのですが、それが大事になってしまいました。
申し訳ありません。
p220208171033.tst.ne.jp (220.208.171.33)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/75.0.3770.100 Safari/537.36

60640.Re: πの無理性について  
名前:さる    日付:2019年06月20日(木) 00時32分
ちょっと気になるのでコメントします。

そもそも、Cartwrightの証明とほぼ同じものを、原典を伏せて記述するのは、辞書の執筆としていかがなものでしょうか?
また、wikipediaは独自研究の発表の場所ではないはず。

そして、
>ただし、フェルマーの最終定理とかになれば、すべての主張を正しく構成するのは至難の業でしょうから、背理法を使っても良いとは思います。
などとコメントしています。フェルマーの最終定理くらい有名な問題を解決するのでなければ、背理法を使うのは良くないなどと言っているように見えますが、それは、必死になって(そうでない人もいるでしょうが)新しい定理を証明して論文を書いている人を、背理法を使っているというだけで馬鹿にする発言ですか?

そもそも排中律を用いて構成される理論(微分積分を排中律を使わずにきちんと構成しましたか?)を使っておきながら、「背理法を用いない証明」が正しくて、背理法を使うのは理解してない証左のような言動をするのはどうなんでしょう?

>背理法を用いずに全てにおいて正しい主張を展開するには、正しい理論をすべて完璧に理解していなければならないからです。
などと書くなら、証明を完璧に理解しているんでしょうから、
>下記は正しいですか?
などと書く必要はないですね。

個人的に、無駄な背理法は減らした方が良いという意見はまあわかりますが、だからといって背理法を攻撃するような言明をするのには強く反対したいです。
ae173054.dynamic.ppp.asahi-net.or.jp (14.3.173.54)
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60615.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2019年06月18日(火) 00時46分
>わかりました。

ありがとうございます。
確かに、背理法で証明するより、背理法を用いないで証明するほうが難しいと思います。
なぜならば、背理法を用いずに全てにおいて正しい主張を展開するには、正しい理論をすべて完璧に理解していなければならないからです。

ただし、難しいからといって、真実で構成されている背理法を用いない証明を否定してほしくないというのが私の気持ちです。
背理法が絶対に駄目なわけではありませんが、数学的な理解度を上げるためにも私は背理法に頼り過ぎるべきではないと思います。

ただし、フェルマーの最終定理とかになれば、すべての主張を正しく構成するのは至難の業でしょうから、背理法を使っても良いとは思います。
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Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/75.0.3770.90 Safari/537.36

60614.Re: πの無理性について  
名前:m    日付:2019年06月17日(月) 23時46分
わかりました。
softbank218115146079.bbtec.net (218.115.146.79)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/75.0.3770.90 Safari/537.36

60611.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2019年06月17日(月) 19時29分
>調べていて気が付いたのですが、wikipediaを編集されましたか。
>Morleyさんのこの証明はほとんど(wikipediaにも載っている)ニーベンの証明と同じです。私にとってはwikipediaのニーベンの証明の方が簡単だと感じます。

Wikipediaを編集しました。
ニーベンの証明とほぼ同じでも、こちらは背理法を使っていません。
背理法を用いた証明は、必ず途中に多くの誤った主張が並びます。
誤った主張は、正しい主張ではないので天才ですら理解できません。
もし仮に、誤った主張を理解しているとしたら、真理を理解していないことになります。
一方、背理法を使わない方法では、難しさはどうかわかりませんが、理論を吟味さえすれば理解することができます。
なので、背理法を用いない証明の存在意義はあります。
本来数学というのは、理論が簡単かどうかではなく、可能な限り主張が正しいかどうかで議論すべきです。
https://
p220208171033.tst.ne.jp (220.208.171.33)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/75.0.3770.90 Safari/537.36

60610.Re: πの無理性について  
名前:m    日付:2019年06月17日(月) 17時19分
調べていて気が付いたのですが、wikipediaを編集されましたか。
Morleyさんのこの証明はほとんど(wikipediaにも載っている)ニーベンの証明と同じです。私にとってはwikipediaのニーベンの証明の方が簡単だと感じます。
softbank218115146079.bbtec.net (218.115.146.79)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/75.0.3770.90 Safari/537.36

60609.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2019年06月17日(月) 00時56分
この証明方法よりも簡潔かつエレガントに背理法を使わずにπの無理性を証明することはできますか?
できれば教えて下さい。
よろしくお願い致します。
https://
p220208171033.tst.ne.jp (220.208.171.33)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/75.0.3770.90 Safari/537.36

60602.Re: πの無理性について  
名前:m    日付:2019年06月16日(日) 12時01分
正しいと思います。
softbank218115146079.bbtec.net (218.115.146.79)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/75.0.3770.90 Safari/537.36

60595.πの無理性について  
名前:Morley    日付:2019年06月16日(日) 00時58分
下記は正しいですか?
教えて下さい。
よろしくお願い致します。
2003年大阪大/理系後期の解き方をアレンジしたものです。

正整数 p に対して
x=p/π, In=π^(n+1)/n! ∫_0^1 t^n*(1-t)^n*sinπt dt,
A[n](x)= p^n*In とすれば
A[0](x) = I0 = 2,
A[1](x) = p*I1 = 4x.
ところで
I_n+1=(4n+2)/π*I_n - I_n-1
なので
p^(n+1)*I_n+1=(4n+2)/π*p^(n+1)*I_n - p^(n+1)*I_n-1
であり
A[n+1](x)=(4n+2)x*A[n](x)-p^2*A[n-1](x).
よって、A[n](x) は x に関する整数係数多項式である。
これより、A[n](x) が整数でないならば、x も整数でない。
ここで 0<t<1 に対して
0<t^n*(1-t)^n*sinπt<1.
したがって
0<In<π^(n+1)/n!.
これから
0< A[n](x)=p^n*In < π(pπ)^n/n!.
n→∞のとき、y^n/n!→0 である。
十分大きな n に対して
0<A[n](x)<π(pπ)^n/n!<1.
ゆえに、A[n](x) は整数ではないので、x =p/π も整数でない。
すなわち、πは有理数でない。
http://www.k-kyogoku.com/cn136/cn120/pg1746.html
p220208171033.tst.ne.jp (220.208.171.33)
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