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60616.Re: 不等式  
名前:だにー    日付:2019年06月18日(火) 02時03分
ありがとうございます。勉強になりました!
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60606.Re: 不等式  
名前:IT    日付:2019年06月16日(日) 16時50分
> やはりもっと計算になれなきゃですね。

検算には、下記など使うと良いと思います。
https://www.wolframalpha.com/

不等式で見通しを立てるには、グラフソフトなども有効だと思います。
http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/

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60605.Re: 不等式  
名前:だにー    日付:2019年06月16日(日) 16時01分
>ITさん、らすかるさん

ありがとうございました。理解できました。
やはりもっと計算になれなきゃですね。
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60604.Re: 不等式  
名前:IT    日付:2019年06月16日(日) 15時23分
「微分積分学講義(野村隆昭著 共立出版)」の解の要点を書きます。

問題4.38 
-- 問題の背景やヒント 略 --
x≠0のとき 不等式 1<Arctanx/tanhx<π/2が成り立つことを示せ。

(解の要点) x>0に限定して記述します。

f(x)=Arctanx/tanhx (x≠0) とおく
f'(x)=(sinh2x-2(x^2+1)Arctanx)/(2(x^2+1)(sinhx)^2) これの分子をg(x)とおく
g'(x)=4((sinhx)^2-xArctanx)
x>0で sinhx>x,Arctanx<x より g'(x)>0
よって f(x)はx>0で狭義単調増加
一方 lim[x→0]f(x)=1,lim[x→0]f(x)=π/2
以上から 1<f(x)<π/2

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60603.Re: 不等式  
名前:らすかる    日付:2019年06月16日(日) 14時23分
arctanx<(π/2)tanhx について、あまり綺麗でもないですが別の方法です。

(π/2)tanh1=(π/2)(1-2/(e^2+1))
>(π/2)(1-2/8) (∵e^2>2.7^2>7)
=3π/8>9/8>1 (∵π>3)
(π/2)tanh0=0
x>0のとき{tanhx}''=-2(tanhx)(sechx)^2<0からtanhxは上に凸なので
0<x≦1のとき(π/2)tanhx>x
一方0<x≦1のときarctanx<xなので
arctanx<x<(π/2)tanhxとなり、
0<x≦1のときarctanx<(π/2)tanhxが成り立つ。

x>1のときは
f(x)=tan((π/2)tanhx)とおくと
f(1)=tan((π/2)tanh1)>tan(1)>1
f'(x)=π/{2{cos((π/2)tanhx)}^2・cosh(x)^2}
=π/{2{sin(π/(e^(2x)+1))}^2・(e^x+e^(-x))^2/4}
>π/{2{π/(e^(2x)+1)}^2・(e^x+e^(-x))^2/4}
=2e^(2x)/π
>1
なのでf(x)>x
よってx<tan((π/2)tanhx)なので
arctanx<(π/2)tanhx

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60601.Re: 不等式  
名前:IT    日付:2019年06月16日(日) 14時54分
>(e^(2x)+e^(-2x)+2)/2π と x^2+1 の大きさを比較すれば良いのでは?
具体的には

t(x)=(1/(2π))(e^(2x)+e^(-2x)+2) - (x^2+1) とおくと、t(0)<0,t(∞)=∞
t'(x)=(1/π)(e^(2x)-e^(-2x)) - 2x , t'(0)=0,t'(∞)=∞
t''(x)=(2/π)(e^(2x)+e^(-2x)) - 2 , t''(0)<0,t''(∞)=∞
t'''(x)=(4/π)(e^(2x)-e^(-2x)) ≧0 (等号はx=0)

から 順次 t''(x)、t'(x)、t(x)の増減,正負を調べれば良いと思います。

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60596.Re: 不等式  
名前:だにー    日付:2019年06月16日(日) 00時08分
すいません。

どちらの方法でも計算がうまくできませんでした。
もしよろしければ詳細おしえていただけませんか?
自分は次のように考えました。

f(x)-g(x)=h(x)とおくと
h(1)>0よって
lim(f(x)-g(x))=0なので
あるMがあってM<xならばh(x)<h(1)/2
そこでM<xなるxを一つ固定し、x_1とする。

このとき有界閉区間[0,x_1]においてh(x)は最大値
をとる。そのx座標をdとするとh'(d)=0である。
さらに平均値の定理より
{h(d)-h(x_1)}/{d-x_1}=h'(c)なるcがdとx_1の間にある。
よってNo.60574の正数aとしてdがとれそうなのですが

それをいうためにはh'(d)=0なるdがひとつしかないことを
示さなければなりません。

それはどうやれば示せるでしょうか?
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60590.Re: 不等式  
名前:IT    日付:2019年06月15日(土) 12時55分
f'(x)-g'(x)=2π/(e^(2x)+e^(-2x)+2) - 1/(1+x^2) なので

(e^(2x)+e^(-2x)+2)/2π と 1+x^2 の大きさを比較すれば良いのでは?

あるテキストでは,別の方法を取ってましたので紹介します。
 x>0 で h(x)=f(x)/g(x) とおいて
 h(x) の増減,lim[x→+0]h(x),lim[x→∞]h(x),を調べる。
 これだと左右の不等式が示せます。

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60577.Re: 不等式  
名前:だにー    日付:2019年06月15日(土) 01時52分
こんばんは。回答ありがとうございます。

遅くなって申し訳ありません。

ある正数aがあって
 0≦x<a では f'(x)>g'(x), x=a では f'(x)=g'(x), a<xでは f'(x)<g'(x)

これはどうやって示すのでしょうか?
方針としては
f'(x)-g'(x)=(sech(x))^2/(1+x^2){π/2(1+x^2)-(cosh(x))^2}
なので
h(x)=π/2(1+x^2)-(cosh(x))^2とおいて
h'(x)<0を示せばよい感じがしますが、うまくいきません。
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60576.Re: 不等式  
名前:IT    日付:2019年06月14日(金) 22時32分
※ 最初に定積分での評価を思いつきましたが、定積分を使わなくても良いですね。
x>a でf'(x)-g'(x)<0 なのでf(x)-g(x)は狭義単調減少
一方 lim(x→∞){f(x)-g(x)}=0
よって x>a で f(x)-g(x)>0
(厳密にはε-N方式で示す)

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60575.Re: 不等式  
名前:山旅人    日付:2019年06月14日(金) 22時27分
> a≦x<M のとき ∫[x,M]f'(t)dt<∫[x,M]g'(t)dt
>  ∴ f(M)-f(x)<g(M)-g(x)

うまいですね! 有り難うございます。
 

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60574.Re: 不等式  
名前:IT    日付:2019年06月14日(金) 22時08分
(右側の不等式の方針)0と∞の両側から攻めていきます。 グラフソフトでグラフを描いて思いつきました

f(x)=(π/2)tanh(x), g(x)=arctan(x) とおく
f'(x)=(π/2)(sech(x))^2,g'(x)=1/(1+x^2)

ある正数aがあって
 0≦x<a では f'(x)>g'(x), x=a では f'(x)=g'(x), a<xでは f'(x)<g'(x)
※証明が必要です

よって
 0<x<a のとき g(0)=f(0),g'(x)<f'(x) からg(x)<f(x)

 a≦x<M のとき ∫[x,M]f'(t)dt<∫[x,M]g'(t)dt
 ∴ f(M)-f(x)<g(M)-g(x)
 lim(M→∞)f(M)=lim(M→∞)g(M)=π/2 なので g(x)<f(x)
※ 最初に定積分での評価を思いつきましたが、定積分を使わなくても良いですね。

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60573.Re: 不等式  
名前:山旅人    日付:2019年06月16日(日) 08時36分
左側の不等式のみ。
 tanh(x)<tan-1(x) …(1)
 f(x)=tanh(x), g(x)=tan-1(x) と置くと,f(0)=g(0)=0
だから
 f ’(x)=sech2(x), g ’(x)=1/(1+x2)
で,
 f ’(x)<g ’(x) …(2)
が言えれば(1)が成り立つ。
(2)を書き換えた
 1+x2<cosh2(x) …(3)
を示す。(3)の左辺を h(x),右辺を k(x) と置くと,
 h(0)=1,k(0)=1 …(4)
 h’(x)=2x,k’(x)=2cosh(x)sinh(x) …(5)
 h’(0)=0,k’(0)=0 …(6)
 h”(x)=2,k”(x)=2(1+2cosh2(x)) …(7)
明らかに h”(x)<k”(x) …(8)

(6)(8) より h’(x)<k’(x) …(9)
が成り立ち,(4)(9)より(3)が成り立つ。
よって,(1)が成り立つ。[証明了]

右側の不等式はどうするのでしょう? 上と同じ方法ではうまくいかないようです。
 

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60572.不等式  
名前:だにー    日付:2019年06月14日(金) 08時30分
tanh x < arxtan x <π/2 tanh x
がx>0の範囲で成り立つことを示せ。

という問題お願いします。
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