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60429.Re: 2019年度名古屋大学数学科の院試問題(微分積分)  
名前:数学科生    日付:2019年05月27日(月) 12時28分
解答ありがとうございます!理解できました。
e^(θ-1)xをかけたら簡単にできるんですねこれ…。
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60427.Re: 2019年度名古屋大学数学科の院試問題(微分積分)  
名前:m    日付:2019年05月26日(日) 15時14分
(1)
∞ (0 < θ < log2)
1 (θ = log2)
0 (log2 < θ < 1)

(2)
θ = (1+log2)/2とおく。
a_n = max[x≧n]{(e^(-θx) * (1+x/n)^n}
とおく。log2 < θ < 1 より(1)により
lim[n->∞]a_n = 0

∀n≧1にたいし、
0 ≦ (1+x/n)^n * e^(-x) ≦ a_n * e^((θ-1)x) (∀x≧n)
より

0≦
∫[n,∞](1+x/n)^n * e^(-x)dx
 ≦ a_n * ∫[n,∞]e^((θ-1)x)dx
  = a_n * e^((θ-1)n)/(θ-1)

n -> ∞ としてはさみうちの原理により示された。

どうでしょうか
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60421.2019年度名古屋大学数学科の院試問題(微分積分)  
名前:数学科生    日付:2019年05月25日(土) 00時20分
(1)0<θ≦1のとき、極限lim[n→∞]{max[x≧n](e^(-θx)・(1+x/n)^(n))を求めよ。
(2)lim[n→∞]甜n,∞](1+x/n)^(n)・e^(-x)dx=0であることを示せ。

という問題なのですが、(1)はmaxの中身を微分するとθの値で場合分けしてできたのですが、(2)の方がいまいちよくわかりません…。どなたか教えていただけると幸いです。
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