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60412.Re: 平成31年度の京都大学の院試の問題(線形代数)  
名前:カッティ    日付:2019年05月24日(金) 08時13分
すみません。

行列Aが
サイズが1の固有値が0でないジョルダンブロックと
サイズがk(≧2)の固有値が0のジョルダンブロックから
なる行列のとき、
A^(k-1)は対角化できないが、A^kは対角化可能
という条件を満たす。

の誤りでした。

k=n、(すなわちA^n=0)
でないと、問題の条件を満たさないと思います。
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60411.Re: 平成31年度の京都大学の院試の問題(線形代数)  
名前:IT    日付:2019年05月24日(金) 07時16分
横から失礼します。
カッティ さん>
>行列Aを
>サイズが1の固有値が0でないジョルダンブロックと
>サイズが2以上の固有値が0のジョルダンブロック
>からなる行列としても
>A^(n-1)は対角化できないが、A^nは対角化可能
>という条件をみたすので、
>一般的には、A^n=0 にならないと思います。

ということは、
「Aをn次複素正方行列とする。A^(n-1)は対角化可能でないが、A^nが対角化可能なときA^n=0である」
は、偽である。ということでしょうか?京大の出題ミスの可能性も0ではないと思いますが

(なお、当然のことですが原文↓ではnは2以上の整数となっています。)
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/files/master_exams/2018math_kiso.pdf

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60409.Re: 平成31年度の京都大学の院試の問題(線形代数)  
名前:数学科生    日付:2019年05月23日(木) 19時46分
解答いただきありがとうございます!
ジョルダン標準形で考えたらできるんですね…
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60403.Re: 平成31年度の京都大学の院試の問題(線形代数)  
名前:カッティ    日付:2019年05月23日(木) 08時15分
対角化出来ない行列は、ジョルダンブロックを持つ。簡単のため、
行列Aがジョルダンブロック1つ(行列J)からできている場合を考える。

ジョルダンブロックは
J=[
[λ,1,0,...,0,0],
[0,λ,1,...,0,0],
...,
[0,0,0,...,λ,1],
[0,0,0,...,0,λ]]
であった。

N=[
[0,1,0,...,0],
[0,0,1,...,0],
...,
[0,0,0,...,1],
[0,0,0,...,0]]
とすると、
N^2=[
[0,0,1,0,...,0],
[0,0,0,1,...,0],
...,
[0,0,0,0,...,1],
[0,0,0,0,...,0],
[0,0,0,0,...,0]]
N^(n-1)=[
[0,0,0,...,1],
[0,0,0,...,0],
...,
[0,0,0,...,0],
[0,0,0,...,0]]

J=λE+Nであり、
J^k=λ^k・E+kC1λ^(k-1)・N+...+kC(k-n+1)・N^(k-n+1)
である。J^kの固有値は、「λ^k」11つだけであり、
(J^k-λ^k・E)=kC1λ^(k-1)・N+...+kC(k-n+1)・N^(k-n+1)
のランクは(n-1)であり、
固有空間 Ker(J^k-λ^k・E)の次元は1である。
⇔固有ベクトルを一つしか持たない。
⇔ジョルダンブロックの数がひとつである。

以上により、任意の固有値が0でない行列は、
冪乗することで、ジョルダンブロックの数と大きさが変わらない。

冪乗することでジョルダンブロックが変わるのはλ=0のとき、
すなわち
J=[
[0,1,0,...,0],
[0,0,1,...,0],
...,
[0,0,0,...,1],
[0,0,0,...,0]]
J^(n-1)=
[0,0,0,...,1],
[0,0,0,...,0],
...,
[0,0,0,...,0],
[0,0,0,...,0]]
であり、n÷2=m あまりr とすると

J^(n-1)はサイズが2のジョルダンブロックm個と
サイズが1のジョルダンブロックr個からなる。
従って、対角化できない。
J^nはもはや零行列なので対角化できる。


行列Aを
サイズが1の固有値が0でないジョルダンブロック

サイズが2以上の固有値が0のジョルダンブロック
からなる行列としても
A^(n-1)は対角化できないが、A^nは対角化可能
という条件をみたすので、
一般的には、A^n=0 にならないと思います。
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60399.平成31年度の京都大学の院試の問題(線形代数)  
名前:数学科生    日付:2019年05月22日(水) 01時01分
Aをn次複素正方行列とする。A^(n-1)は対角化可能でないが、A^nが対角化可能なときA^n=0であることを示せ。

どなたか方針だけでも教えていただければ幸いです。
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