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60394.Re: 多様体の接写像のランクと微分同相写像との関係について。  
名前:数学科生    日付:2019年05月20日(月) 12時44分
f(x)=xの間違いです。ご指摘ありがとうございます。
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60391.Re: 多様体の接写像のランクと微分同相写像との関係について。  
名前:さる    日付:2019年05月20日(月) 00時32分
x∈(0,1)のときf(x)=x
のミスですかね?
それ以外は良いと思います。
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60387.Re: 多様体の接写像のランクと微分同相写像との関係について。  
名前:数学科生    日付:2019年05月19日(日) 16時42分
返信ありがとうございます。理解できました。
自分で考えた例なのですが、M={(-2,-1)∪(0,1)},N={(0,1)}とすると、
M,Nは共に1次元多様体。f:M→Nをx∈(-2,-1)のときf(x)=x+2,x∈(0,1)のときf(x)=1
と定めると、fは局所的には微分同相写像ですが、fは単射でないので、全体としては微分同相写像ではない。この認識でよろしいでしょうか?
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60385.Re: 多様体の接写像のランクと微分同相写像との関係について。  
名前:IT    日付:2019年05月19日(日) 05時52分
>>F:R→R として F(x)=x^3 とすると Fの逆写像はx=0 で微分可能ではありません。
>この場合、x=0でrankが0ではないかと思うのですが・・・。

そうですね。これは反例になりませんね。

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60384.Re: 多様体の接写像のランクと微分同相写像との関係について。  
名前:さる    日付:2019年05月19日(日) 04時00分
S^1=R/Zとします。
S^1からS^1への写像fをf(t)=2tで定めると、これは微分同相写像ではありません。単射性がくずれているので。(tがS^1を一周する間に、2tはS^1を二周する)

局所的には、微分同相写像になってます。例えば、0<a<1/2に対して
(0,a)から(0,2a)への微分同相写像になっています。

あと、
>F:R→R として F(x)=x^3 とすると Fの逆写像はx=0 で微分可能ではありません。
この場合、x=0でrankが0ではないかと思うのですが・・・。

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60383.Re: 多様体の接写像のランクと微分同相写像との関係について。  
名前:IT    日付:2019年05月19日(日) 06時07分
下記の1Pなど参照されるとよいかも
F:R→R として F(x)=x^3 とすると Fの逆写像はx=0 で微分可能ではありません。
(これは、さるさんの ご指摘の通り 反例になってませんが そのまま載せておきます)

http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/manifold/manifold2.pdf

manifold2.pdf の数字を1から11まで変えると多様体に関する 学生からの質疑への教授の回答が出てきます。

坪井著の幾何学I多様体入門を使った講義の演習問題と解答があります。
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~nakajima/Lecture/12_Kika1.html

ご存知と思いますが 坪井先生の多様体論の講義は下記で公開されています。
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/video/lecture/2003tsuboi/

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60380.多様体の接写像のランクと微分同相写像との関係について。  
名前:数学科生    日付:2019年05月18日(土) 18時07分
坪井著の幾何学I多様体入門のp78ページに書いてあるのですが、
M,Nをn次元C∞級多様体としてF:M→NをC∞級写像とする。
Mの任意の点におけるFの微分のランクがnであっても、
F:M→F(M)が微分同相写像を定めるとは限らないとあるのですが、
それがなぜか分かりません…。
F(M)には多様体としての構造が入らないかもしれないということでしょうか?
どなたか例などをご教示いただければ幸いです。
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