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DS 数学 BBS・2
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60327.Re: 数直線上の任意の開集合は可算個の開区間の非交和で表されることの証明  
名前:ast    日付:2019年05月13日(月) 22時00分
単純化したイメージで言えば, 開集合 U ごとに開区間列 {I_k} を一つ決めてそれ以後は固定し, この O := {I_k} を一つの空間と見てある種の「連結成分」に分ければよいという話になるかと思います.

つまり, (ここだけの用語で) I, J ∈ O が I∩J≠∅ のとき「I と J が線分で結べる」ということにし, さらに O の元からなる適当な有限列 I,…,J をうまく選べばどの隣り合う二項も線分で結べるとき I と J は「折れ線で結べる」ということにしましょう. そうしたら O の部分集合 K がどの二点も折れ線で結べるとき K は「弧状連結」であると言うことにしてもいいはずです. このとき, 各弧状連結成分はまとめれば一つの開区間になっていることに注意します.
そうすると, O を弧状連結成分へ分解したものが, 求める「(高々)可算個の開区間の非交和」であるということです.

# PDF の解説では I_k の添字の空間で考えて i と l が結べる:⇔ I_i と I_l が結べる
# と書いていることになりますが, とくに読み替えに支障はないと思います.
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60324.Re: 数直線上の任意の開集合は可算個の開区間の非交和で表されることの証明  
名前:IT    日付:2019年05月13日(月) 22時16分
> 書かれている同値関係
というのは、紹介したテキストに書かれている同値関係のことですよね?

具体的に図を描いて考えて見られると良いと思います。

注)開区間そのものではなくて 添え字に同値関係を入れています。

例えば、テキストの k=3,l=10,N=4, k=k[0]=3,k[1]=8,k[2]=5,k[3]=4,l=k[N]=k[4]=10 と具体値を当てはめて考えると 

3と10の間に8,5,4がとれて
 I[3]∩I[8]≠φ,I[8]∩I[5]≠φ,I[5]∩I[4]≠φ,I[4]∩I[10]≠φとなるならば
 3〜10です。
 もちろんこのとき 3〜8〜5〜4〜10 となります。

# 図示すると分かり易いのですが、小中高用のDS数学BBSでは、画像ファイルが添付できますが、なぜかこのサイトではファイル添付ができないので・・・

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60320.Re: 数直線上の任意の開集合は可算個の開区間の非交和で表されることの証明  
名前:もけもけ    日付:2019年05月13日(月) 09時36分
すみません、自分の理解力不足で、書かれている同値関係がどういうことかうまく理解できないです。もう少しかみくだいて説明していただくことはできないでしょうか…ご迷惑をおかけします…
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60319.Re: 数直線上の任意の開集合は可算個の開区間の非交和で表されることの証明  
名前:IT    日付:2019年05月12日(日) 22時30分
下記の6枚目にありますね。

直接、間接に互いに交差する開区間同士を同値とし、
可算個の開区間を高々可算個の同値類に分けています。

http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/16isoukuukan.pdf

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60313.Re: 数直線上の任意の開集合は可算個の開区間の非交和で表されることの証明  
名前:鳴瀬    日付:2019年05月12日(日) 10時26分
>少しでもかすっている開区間同士をまとめて、一つの開区間にしていくという方法で
基本的な着想としてはよいと思うのですが具体的に提示していただけないと何ともコメントできません、、、
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60312.Re: 数直線上の任意の開集合は可算個の開区間の非交和で表されることの証明  
名前:さる    日付:2019年05月12日(日) 10時12分
ポイントは番号の付け方だとおもうので、
有理数全体を順序つけといて、i番目の有理数を含む最大の開区間をA_iとかいうようにして、さらに重複は飛ばしたら出来ませんか?
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60309.数直線上の任意の開集合は可算個の開区間の非交和で表されることの証明  
名前:もけもけ    日付:2019年05月11日(土) 23時39分
題名にかいた内容が証明できません。自力で、実数の開集合が可算個の開区間の和集合で表されることは示しましたが、非交和になることがいえません。開区間の和集合で表したのち、少しでもかすっている開区間同士をまとめて、一つの開区間にしていくという方法で示せるように思ったのですが、どうやってもそれを正しく表現することができないです
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