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60323.Re: アフィンスキームでないスキームの例について  
名前:まる    日付:2019年05月13日(月) 17時00分
返信遅れてすみません。
Tさんのおかげで理解できました!
ありがとうございます。
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60306.Re: アフィンスキームでないスキームの例について  
名前:T    日付:2019年05月11日(土) 19時17分
自然な射の構成を考えると、大域切断の写像 Γ(X,O_X)→Γ(A_1,O_[A_1]) は結局
制限写像 O_X(X)→O_X(A_1) に一致します。
更に、先程用いた
Γ(X,O_X)={(φ_1,φ_2)∈O_X(A_1)×O_X(A_2) | φ_1=φ_2 in O_X(U_1)}
の意味を思い出せば、この制限写像は第一成分への射影に他なりません。
この射影が同型であることは、「考えてみてください」の部分が分かっていればほぼ明らかのはずです。
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60301.Re: アフィンスキームでないスキームの例について  
名前:まる    日付:2019年05月11日(土) 16時23分
Tさん回答ありがとうございます。
わからないところがあったのでまた質問させていただきます。

>>ここで、自然な射 A_1→X を考えます。
これはアフィンスキームの射であり、大域切断の写像 Γ(X,O_X)→Γ(A_1,O_[A_1]) は同型写像となる(詳細略)ので、
射 A_1→X は同相です。

大域切断が同型写像となることがわからないのでこの部分も教えていただけますでしょうか。
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60275.Re: アフィンスキームでないスキームの例について  
名前:T    日付:2019年05月11日(土) 00時37分
まず大域切断に着目します。
例で構成されたスキームを X とします。
A_1, A_2, U_1=U_2 は X の開集合になっています。
層の貼り合わせ条件から、
 Γ(X,O_X)={(φ_1,φ_2)∈O_X(A_1)×O_X(A_2) | φ_1=φ_2 in O_X(U_1)}
と書けますが、これを具体的に求めると
 Γ(X,O_X)=k[x]
であることが分かります。(考えてみてください)

これにより、X がアフィンスキームであると仮定すると X=Spec(k[x]) となります。
ここで、自然な射 A_1→X を考えます。
これはアフィンスキームの射であり、大域切断の写像 Γ(X,O_X)→Γ(A_1,O_[A_1]) は同型写像となる(詳細略)ので、
射 A_1→X は同相です。
一方、集合の写像として A_1→X は全射でないので矛盾します。
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60231.アフィンスキームでないスキームの例について  
名前:まる    日付:2019年05月09日(木) 00時45分
ハーツホーンの例2.3.6で
A_1=A_2=Spec(k[x]),U_1=U_2=Spec(k[x])\(x)として
id:U_1->U_2でA_1とA_2を貼り合わせものが
(x)に対応する点が二重になっているアフィン直線になることは分かったのですが
これがアフィンスキームでないという部分が分かりません。
点が二重になっていることがアフィンスキームにならない原因だと思いますが、
どう証明すれば良いでしょうか。
よろしくお願いします。
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