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DS 数学 BBS・2
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60176.Re: (untitled)  
名前:魚(x)    日付:2019年05月04日(土) 02時21分
そもそも微分してる時点で連続で、軟化子なり関数解析で滑らかに繋がるように無限に別の関数をくっ付けられますもんね
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60172.Re: (untitled)  
名前:魚(x)    日付:2019年05月04日(土) 01時46分
「水位がF(x)に達したときの水面の広がる早さがk/{(1-F(x))x²}であり」
とかじゃないとダメですよね;
ある(a,F(a))では広がる早さがk/{(1-F(a))a^2}だとしても、別の(b,F(b))では広がる早さがk/{(1-F(b))b^2}ではないようなFを作ることはできます
例えば(2a,F(2a))まではF(x)=1-e^(-x²)で、そこから先では、滑らかに繋がる、1-e^(-x²)ではない形のF(x)になっている、という可能性が捨てきれないない
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60167.Re: (untitled)  
名前:魚(x)    日付:2019年05月04日(土) 01時27分
これ、もしかして問題文の「ある(a,b)に」って書き方だと、普通はなにかひとつ固定されたaがあって、そのaだけでは広がる速度がそれになるみたいに読めてしまいますか?
つまり、解答の「一般化する」と書いてる部分は、与えられた問題文だけだと普通は成り立たないってことです
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60155.Re: (untitled)  
名前:X    日付:2019年05月01日(水) 18時21分
両方とも問題ないと思います。
微分方程式を使わなくても解ける問題でしたね。
失礼しました。
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60154.Re: (untitled)  
名前:    日付:2019年04月30日(火) 22時50分
ありがとうございます。
考えて、自分で回答を書きました。おかしなところがあれば指摘お願いします。
https://i.imgur.com/U7FFMRj.jpg
https://i.imgur.com/fD2pbtM.jpg
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60153.Re: (untitled)  
名前:X    日付:2019年04月30日(火) 22時37分
ごめんなさい。その通りですね。
No.60151を直接修正しましたので再度ご覧下さい。
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60152.Re: (untitled)  
名前:    日付:2019年04月30日(火) 22時31分
(1)は理解できました
F(x)=1-f(x)よりF(x)上の点は(r,{1-e^(-r^2)})となりませんか?
p2644094-ipngn201303tokaisakaetozai.aichi.ocn.ne.jp (122.27.51.94)
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60151.Re: (untitled)  
名前:X    日付:2019年04月30日(火) 22時36分
(1)
問題の容器の高さF(x)のときの体積をV,水面の面積をSとすると
条件から
V=π∫[0→F(x)](x^2)dy=π∫[0→x](x^2)F'(x)dx (A)
S=πx^2 (B)
dV/dt=k (C)
dS/dt=k/{(1-F(x))x^2} (D)
(A)(C)より
π(dx/dt)(x^2)F'(x)=k (A)'
(B)(D)より
2πx(dx/dt)=k/{(1-F(x))x^2} (B)'
(A)'÷(B)'から
(x/2)F'(x)=(1-F(x))x^2
F'(x)/{F(x)-1}=-2x
∴F(x)-1=Ce^(-x^2)
(Cは任意定数)
ここで条件からF(0)=0ゆえC=-1
∴F(x)=1-e^(-x^2)
このとき
F'(x)=2xe^(-x^2)
F"(x)=2(1+x)(1-x)e^(-x^2)
∴F"(x)>0より
-1<x<1

以上から
f(x)=1-F(x)=e^(-x^2)
(但し-1<x<1)
となります。

(2)
Aだけ水がたまったときの容器の縁に対応する
y=F(x)のグラフ上の点の座標を(1)の結果から
(r,1-e^(-r^2))
と置くと、条件と(1)の過程から
A=π∫[0→r](x^2){1-e^(-x^2)}'dx (E)
(d/dt){e^(-x^2)}|[x=r]=k/π (F)
更に(B)'から
2πx(dx/dt)=k/{(e^(-x^2))x^2}

(dx/dt)|[x=r]=k/{2π(e^(-r^2))r^3} (B)"
(E)より
A=π[(x^2){1-e^(-x^2)}][0→r]-2π∫[0→r]x{1-e^(-x^2)}dx
=π(r^2){1-e^(-r^2)}+π{1-e^(-r^2)}-πr^2
=π(r^2+1){1-e^(-r^2)}-πr^2 (E)'
一方、(F)より
{(dx/dt)|[x=r]}{2re^(-r^2)}=k/π
これに(B)"を代入して
e^(-r^2)=(e^(-r^2))r^2
∴r^2=1 (G)
よって(1)の過程から題意を満たすrは存在しないので
Aの値も存在しません。

注)
F"(x)>0ではなくてF"(x)≧0という条件であれば
(G)でも問題なく
(E)'より
A=2π(1-1/e)-π
=π(1-2/e)
となります。
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60149.(untitled)  
名前:    日付:2019年04月30日(火) 01時26分
BBS1より誘導をいただき、そのまま掲載します:
次の問題を教えてください。
原点を通る偶関数F(x)を、
F(x)=1-f(x)≧0 で定義する。
また、F(x)の二階微分は正である。
y=F(x)をx=0を軸として回転させた立体に、毎秒kの割合で水を注いだところ、
F(x)上のある点(a,b)に水が到達した時の水面が広がる速さはk/{(1-b)a^2}であり、また水がAだけ貯まったときの水面の上昇速度はk/πであった。
(1)f(x)を求めよ。
(2)Aを求めよ。
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