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60148.Re: 定積分と体積  
名前:さる    日付:2019年04月28日(日) 11時56分
>円状の軸
これは何でしょう?

と不安になるので、繰り返しになりますが、まとめておきます。
おおざっぱに言って、積分というのは、細かく分けたものを足し合わせることです。

体積を計算するときは、薄く切ったときのそれぞれの微小な「体積」(ここだけの用語として微小体積と呼びます)を積分で足し合わせると全体の体積が出てきます。

では、薄く切るというのは何かというと、あるパラメータtをtからt+dtまで動かすときの範囲のことです。

この問題の場合、xをパラメータとした場合、微小体積は断面積S(x)に厚みdxをかけたものになります。
zをパラメータとした場合も断面積×dzが微小体積になります(山旅人さんの60068)。

では、それ以外の切り方はありうるのか?というわけですが、
60142の山旅人さんの例では、z軸からの距離rをパラメータとすると、厚みは一定のdrなので、微小体積がやはり断面積(曲がっていますが)×drが微小体積となります。

求めたかった例だと、断面とxy平面のなす角θをパラメータとして微小体積を計算すると、微小体積≠断面積×dθとなっているので、断面積を積分しても求まりません。そして、微小体積をきちんと計算すれば、求まります。

まあ、それだけです。
数式をほとんど書かない回答ばかりなのもなんなので、θをパラメータとした場合の計算を書いておきます。

まず、角度θで切った断面を考えると、原点から一番遠いところの座標が
(0,a,a tanθ)になっていて、原点との距離はa/cosθです。

これをもとに、断面をst平面で考えると、断面は楕円の半分であることから、断面は-√(a^2-s^2 cos^2θ)≦t≦√(a^2-s^2 cos^2θ) となります。sの動く範囲は0からa/cosθです。

さて、この半楕円の面積を計算するためには、
2∫√(a^2-s^2 cos^2θ) ds (sの積分範囲は0からa/cosθ)
を計算すれば良いわけですが、これはπa^2/(2 cosθ)となって、これをθで積分しても、体積は出てきません。要は求める微小体積≠断面積×dθなのです。

では微小体積を求めるためにはどうするのか?といえば、
もとの図形で考えて、薄く切った部分の厚みは、「y軸からの距離に比例し、距離1ではdθになっている」という部分に注意します。
断面をst平面で表したので、y軸からの距離はsです。つまり、「厚みはs dθ」になるということがわかります。
だから、厚みを考慮に入れて「重み付き断面積」(と表現しましたが、重みって何だ?とかあるので、良い用語ではないかもしれません)を計算すれば良いことになります。

積分で表すと、
2∫s √(a^2-s^2 cos^2θ) ds (sの積分範囲は0からa/cosθ)
となって、先ほどの積分とは違って、厚みs dθの係数であるsが入っています。
これを積分すると、2a^3/(3cos^2θ)となって、微小体積が 2a^3/(3cos^2θ) dθとなることがわかります。

あとは山旅人さんと同じ(上記の計算も本質的には同じことをしているわけですが)で、θで0からπ/4まで積分すれば、2a^3/3となります。
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60146.Re: 定積分と体積  
名前:山旅人    日付:2019年04月27日(土) 23時38分
>「側面の展開図上ではサインカーブになる」のは何故でしょうか。

私がここで説明するより,円柱の切り口円柱の斜め切断 をじっくりお読み下さる方が良いでしょう。

> sin内のx/aとは何を指しているのでしょうか。

円柱の側面の展開図における sin 関数の横軸の1周期は 2πa です。
y=sin(x) の周期は 2π ですから,これを 2πa とするには y=sin(x/a) としなければなりません。
y=sin(x) を x 軸方向に a 倍,y 軸方向に a 倍すると,y/a=sin(x/a) になることは OK ですね?

> 断面積×dαのようなことが出来れば積分可能という認識で大丈夫でしょうか。

さる さん は 「重み付きの断面積」 と表現しておられますが,私は,あまり 「断面積」 に拘らない方が良いと思います。その方が 「桂剥き」 のようないろいろな発想ができるかと…
 

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60145.Re: 定積分と体積  
名前:unknown    日付:2019年04月27日(土) 21時54分
さるさん回答ありがとうございます。
大体の仰っておられる部分は把握出来ました。極論をいうと円状の軸が存在して(仮にα軸とすると)αを用いて断面積×dαのようなことが出来れば積分可能という認識で大丈夫でしょうか。
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60144.Re: 定積分と体積  
名前:unknown    日付:2019年04月27日(土) 21時51分
山旅人さん回答ありがとうございます。
60072の方はなんとなく概要を把握できたので、自分で再度計算知って確認してみます。60142の桂剥きという想像は全くしてなくて驚かされました。しかし、自分の理解力が低いせいか、あまり理解できていない部分がありますので質問させてください。

>>円柱と平面の交線 (楕円) は側面の展開図上ではサインカーブになるから,円柱面部分の面積は ∫[0,pi*a]asin(x/a)dx=2*a^2 …(#)

「側面の展開図上ではサインカーブになる」のは何故でしょうか。想像したらなんとなく、そうなりそうではありますが、イマイチその根拠がどこにあるのか分かりません。式はx=aの時の式だと思うのですが、sin内のx/aとは何を指しているのでしょうか。
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60143.Re: 定積分と体積  
名前:さる    日付:2019年04月27日(土) 19時22分
>今の方法では積分が使えないということが理解できました。ありがとうございます。質問を重ねるようで申し訳ないのですが、私の解法を用いた場合、積分を使わないとなると何を用いることになるのでしょうか?それとも、それ以前にこの解法では解けないのでしょうか?

えーと、積分が使えないとは言っていません。
単純に断面積を積分しても求まらないと言っているだけです。

角度θを微小に動かしたとき、半分の楕円(二次曲面である円柱を平面で切っているので、断面は楕円です。)が動く部分の体積(重み付きの断面積、山旅人さんが求めたもの)を計算して、それを積分すれば体積が求まります。

z=kで切る場合などは、zを微小に動かしたものの体積が断面積×dzになっているから、断面積を積分すれば良いのですが、今の場合は、断面積にdθをかけても対応する体積になっていないからうまくいかないというのは、前に述べた通りです。
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60142.Re: 定積分と体積  
名前:山旅人    日付:2019年04月27日(土) 10時43分
リクエストされているわけではありませんが…,以下のように考えても。

大根の桂剥きのように,所与の立体を円柱面に沿って等しい厚さで剥ぐ。
円柱と平面の交線 (楕円) は側面の展開図上ではサインカーブになるから,
円柱面部分の面積は ∫0πaasin(x/a)dx=2a2 …(#)

桂剥きした断片はすべて相似だから(#)を半径方向に積分して,求める体積は
 V=2∫0ar2dr=2a3/3
 

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60072.Re: 定積分と体積  
名前:山旅人    日付:2019年04月26日(金) 18時32分
> (a,0,0)と(-a,0,0)を通り、尚且つ(0,a,k)を通るような半楕円(?)の面積をkを用いて表し、積分する

x 軸を含み x 軸の回りに回転する平面で切断するということですね。

x 軸を含み y 軸と角θをなす平面 p と角θ+dθをなす平面 p’の間にある部分 C の体積は (2a3/3)/cos2θ・dθ …(*) だから
これをθについて 0〜π/4 で積分して

 V=(2a3/3)∫0π/4dθ/cos2θ=2a3/3

(*)をどのように求めたのか。
結局は x 軸に垂直な平面 x=ξ で C を切断した断面積が (1/2)(a2−ξ2)/cos2θ・dθ

これをξについて先に積分すると(*)になり,θについて先に積分すると直角二等辺三角形 (1/2)(a2−ξ2) になるということです。

私も“半楕円”を積分して求まると面白いと思ったのですが,そうはならないようです。ちょっと残念!
 

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60071.Re: 定積分と体積  
名前:unknown    日付:2019年04月26日(金) 00時22分
さるさん回答ありがとうございます。
私の考えていた解法はさるさんの仰っているものそのままです。

>>もし、断面が斜めになるように(xy平面となす角が0度から45度になるように)変化させようとしているなら、そのような断面積を計算しても、答えには結び付きません。

今の方法では積分が使えないということが理解できました。ありがとうございます。質問を重ねるようで申し訳ないのですが、私の解法を用いた場合、積分を使わないとなると何を用いることになるのでしょうか?それとも、それ以前にこの解法では解けないのでしょうか?
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60070.Re: 定積分と体積  
名前:unknown    日付:2019年04月26日(金) 00時23分
山村人さん回答ありがとうございます。
仰る通り、z=kで切ってしまえば積分で求めることが出来ます。今回質問させていただいたのは、z=kで切るのではなく、(a,0,0)と(-a,0,0)を通り、尚且つ(0,a,k)を通るような半楕円(?)の面積をkを用いて表し、積分するというものです。
簡単に言うと、x,y,zの三次元グラフにおいて、(a,0,0),(-a,0,0),(0,a,k),(0,-a,-k)を頂点とする楕円の式があれば良いのではないかと考えているのですが…。
説明不足で申し訳ありません。
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60069.Re: 定積分と体積  
名前:さる    日付:2019年04月26日(金) 00時13分
補足というか、求めたい解き方がいまいちよくわからないのですが、
もし、断面が斜めになるように(xy平面となす角が0度から45度になるように)変化させようとしているなら、そのような断面積を計算しても、答えには結び付きません。

理由は、体積を求めるとき、なぜ断面積を積分して体積となるかを考えればわかります。
立体を薄く切ったとき、それぞれの体積は断面積×厚みになるから、それを足し合わせる(積分する)ことで全体の体積が出てくるわけですが、角度を変えながら切ってしまうと、厚みが場所によって異なるので、切った薄い立体の体積が断面積×厚みとならないからです。

ちなみに、z=kで切った場合、断面の弓型は、楕円の一部ではなくて、円の一部です。
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60068.Re: 定積分と体積  
名前:山旅人    日付:2019年04月25日(木) 23時21分
所与の立体を平面 z=k で切った断面 (弓形) の面積 S(k) は,
 S(k)=2∫ka √(a2−y2)dy=(π/2−sinαcosα−α)a2 ただし,sinα=k/a
あとは,これを 0≦k≦a で積分する。
 

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60067.定積分と体積  
名前:unknown    日付:2019年04月25日(木) 22時18分
画像がないと説明しづらいので、先にリンクを貼らせていただきます。

画像@
https://drive.google.com/file/d/1oZ4Y5yHBpR7TqgbdxD5DqtbvumtMDidx/view?usp=sharing
画像A
https://drive.google.com/file/d/13nYBR7ChkeA2_oojBByN2eQJgt_W2_nh/view?usp=sharing

問題は画像@の通りで高校数学範囲で自身もまだ高3ですが、質問内容が高校範囲ではカバーしきれず、発展した内容と考えているため小中高の掲示板ではなく、こちらの掲示板に貼らせていただきます。不快に思われた方がおられたら申し訳ありません。

大人しくテキストに従っていれば、写真A上部のような解法になると思うのですが、写真A下部のような解法ではどのような式が出てくるのでしょうか。

一応、解法を説明しておきます。
@底面の円の中心を原点として、図のように三軸を設定
A(a,0,0)と(-a,0,0)の点を固定して(0,a,0)のみをz軸に対して平行になるように(0,a,a)まで移動(移動する点を仮に点Pとする)
B点Pにおいてz=γすなわちP(0,a,γ)の時の断面積をf(γ)として定積分を用いて計算

実用性や難易度を考えるとこの解法は良いものとは言えないかもしれませんが、どうしても知りたいので教えていただきたいです。
よろしくお願いします。
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