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60053.Re: 2つの冪級数のコーシー積について  
名前:m    日付:2019年04月24日(水) 15時16分
はい。
f(z)=納n=0,∞]a_n z^nを考えます。

F(z)=納n=0,∞]|a_n| z^nの収束半径はコーシーアダマールの定理より
1/ (limsup[n->∞] (|a_n|)^(1/n))
で与えられます。
これは、f(z)の収束半径を与える式と一致しています。

つまりfとFは同じ収束半径を持つ。

つまり、fの収束半径をrとすると、
任意のz (|z|<r)に対し
F(|z|)が収束するからf(z)は絶対収束する。

つまりfは収束半径内で絶対収束する。
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60052.Re: 2つの冪級数のコーシー積について  
名前:あい    日付:2019年04月24日(水) 14時15分
ありがとうございます!

質問なのですが、5行目のf.gは絶対収束するということがわかりません。
収束半径ないなので一様収束はすると思いますが、絶対収束もするのですか?
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60051.Re: 2つの冪級数のコーシー積について  
名前:m    日付:2019年04月24日(水) 13時52分
r=min(R1, R2)、
hをべき級数f, gのコーシー積とする。
|z|<rとなる任意のzでh(z)が収束すればr<=R3が示されます。

任意にz (|z|<r)をとる。
|z|<R1, R2より級数f(z), g(z)は絶対収束する。
絶対収束する級数のコーシー積は収束するので、h(z)は収束する。
(このときh(z)=f(z)g(z)が成り立つので、結果として{|z|<r}上でh=fgが成り立ちます)
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60050.Re: 2つの冪級数のコーシー積について  
名前:あい    日付:2019年04月24日(水) 13時29分
すみません!
R3はmin(R1,R2)以上でした!
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60049.Re: 2つの冪級数のコーシー積について  
名前:m    日付:2019年04月24日(水) 13時02分
「R3はmin(R1,R2)以上」
では?
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60048.2つの冪級数のコーシー積について  
名前:あい    日付:2019年04月24日(水) 11時06分
2つの冪級数f,gの収束半径をR1,R2とする。
コーシー積のfgの収束半径R3はmin(R1,R2)以下であることを示せ。

証明方法がわかりません...。
どなたか教えてください。
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