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DS 数学 BBS・2
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59980.Re: ランクと次元  
名前:さる    日付:2019年04月19日(金) 09時31分
数ベクトルa_1, ... , a_nを並べて出来る行列をAとする。
このとき、
rank Aと a_1, ... , a_n の張るベクトル空間Vの次元は等しい。
つまり、dim V=rank A.

行列Aを使って表された方程式Ax=0(xは未知なベクトルで成分n個、0もベクトル)を考えるとき、解空間Wのの次元は
dim W=n-rank A.

VもWもベクトル空間だけど、「a_1, ... , a_n の張るベクトル空間」「方程式の解空間」は別なもの。
別なものなのに、ベクトル空間だからといって同じ式(?)が当てはまると思い込んでいる時点で、きちんと読んでいないと言われてもしょうがないですね。

まずは、定理2と3は別なベクトル空間について述べていることと、その意味を理解するようがんばってください。
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59956.Re: ランクと次元  
名前:    日付:2019年04月16日(火) 11時11分
解答にそう書かれてるからこの板で聞いてるのですが…

=0にしないまま、一次独立なベクトルがwはuとvで成り立つので{u,v}で次元が2ってことで貴方の説明とURLを理解しました。嘘ではありません。w=-u-vは=0じゃないと導けないと思ってましたが、貴方の説明では必要なさそうですね。

書き方に関しては携帯で打ってるので、少し省いたのは悪いと思ってます。ちゃんと書かないと怒る方もいらっしゃる事も理解しました。ありがとうございます。

肝心の簡約化からw=-u-vをどうやって持っていったか聞きたかったのですが、肝心なことを答えず、わからない人のことを全く理解できないようなので他を当
たります。ありがとうございました。

少しの数学の勉強と傲慢な社会の勉強できました。
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59951.Re: ランクと次元  
名前:ast    日付:2019年04月16日(火) 01時38分
なんというか, ツッコミどころしかなくて, どう指摘したらいいやら困る…………
一言で言うと
> URLの方は理解しました
はあからさまに嘘あるいは自己欺瞞の類いだと言わざるを得ない返答内容です.

> A=uvwと並べて簡約化をしたら
> 〜となったので、
ということからは {u-w, v-w} が V の基底になることくらいしか出てきませんので,
> u+w=0. v-w=0として
の時点でもう完全におかしい (右辺の 0 は何を根拠にした 0 なの?).

# 最初のレスのPDFで言えば, 例題2のほうの A および rank(A) の話
# (空間を生成するベクトルの組が与えられた状況で, そのうちの独立なものを選ぶ)
# がそのまま該当するので
# ここだけ見てもPDFの内容を理解したという言葉は全く信じられない
# その調子で教科書も読んでるのだとすると, それは斜め読みですらなく
# ただ眺めただけと何も変わらないレベルです.
## 実際, なんでもかんでも rank(A) が出て来たら dim(V)=n-rank(A) に短絡するとか
## 先のPDFのようなすごく短い内容ですら何も入ってきてないとか
## はっきり弊害が出ていることを思えば, 早々に改めるべきでしょう.

> 答えが基底がw=-u-vで次元が2となっており、
絶対に解答にそんなことは書かれてないと断言できます. 基底が {u, v} と書かれているならわかる (この場合, w = -u-v は (どこから導いたにせよ) w が u, v に従属 (だから省いてよい) という意味でしかない).

# あと細かい点だけれども, コンマとピリオドをちゃんと使い分けるべき
## (例えば, u=(-2.1.1)t v=(1.-2.1)t w=(1.1.-2) は
## u=(-2,1,1)^t, v=(1,-2,1)^t, w=(1,1,-2)^t と書くべき)
# だし, 数学的に省略できない意味のある括弧を省略する
## (例えば V=αu +βv +γw |α.β.γはRに含まれる は
## V = {αu+βv+γw | α,β,γ ∈ R} と波括弧で括らないと集合の記法にならない
## また例えば, 「A=uvwと並べて」 も
## A = (u,v,w) あるいは A = (u v w) と行列の括弧で括らないとおかしい)
# に至っては, 呆れるやら怒りがわくやら, 提出物でこういうのが来たらうんざりして採点もせずに捨てるレベル.
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59949.Re: ランクと次元  
名前:    日付:2019年04月15日(月) 20時11分
すみません。簡約化は
1 0 -1
0 1 -1
0 0 0
で基底は(1.1.1)です。
u-w と v-w から w=-u-vと持っていくことはできるのでしょうか?
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~yasuda/Chiba/Lec/senkei/LA2014b-2.pdf
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59948.Re: ランクと次元  
名前:    日付:2019年04月15日(月) 20時09分
ご返事ありがとうございます。その通りです。読み飛ばしてました。すみません。

実は、u=(-2.1.1)t v=(1.-2.1)t w=(1.1.-2)を全てR3のベクトルとし、
Vをu.v.wで張った部分空間V=αu +βv +γw |α.β.γはRに含まれる
とするときのVの基底を1組求めよ。またVの次元を求めよと言う問題を解いていて、A=uvwと並べて簡約化をしたら
1 0 1
0 1 -1
0 0 0
となったので、u+w=0. v-w=0としてw=tとしてt(-1.1.1)から基底を
(-1.1.1)として次元は3-2=1としたのですが答えが基底がw=-u-vで次元が2となっており、たまたま見つけたサイトに似たようなズレがあったのでそのことを質問してました。URLの方は理解しましたが、こちらはなぜ2になるのでしょうか?
簡約化からw=-u-v導く方法がわかりません。
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~yasuda/Chiba/Lec/senkei/LA2014b-2.pdf
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59947.Re: ランクと次元  
名前:ast    日付:2019年04月15日(月) 09時00分
定理3と例題2(定理2じゃなく)ですよね?

例題2 において定理3 の行列 A に相当するのは ((1,-2,1,2,3);(2,-4,3,3,8)) という 2 行 5 列の行列で,
> この2行5列の行列の階数は2である。変数が5個あるから、3個の任意定数をもちいる。
が dim(W) = n - rank(A) に相当する部分です.
例題2 における rank(A) = 3 は「得られたベクトルの組 {a_1,a_2,a_3} が確かに一次独立である」(したがってちゃんと基底になる) という意味なので, 5 から rank(A) を引くことに何の意味もありません.

両者で全く異なる行列 A を考察していることは明らかですので,
> 違いがイマイチわかりません。
違いが分からないということは, イマイチどころかまったく解説文が読めていません.

# 「イマイチわからない」≒「だいたい読めてるのに何かもう一つ足りない」
# という意味なので, 意図と違うなら語彙は改められたほうがよいです.
# あるいはそうではなく, 実際にほぼ読解できている自信がある
# ということならば, その考えは再考すべきです.
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59945.ランクと次元  
名前:    日付:2019年04月14日(日) 15時51分
下のリンクの定理2と定理3の違いがイマイチわかりません。

rankAが3ならdimWは5-3で2ではないでしょうか?

dimV=n と書かれていたり
dimV=n-rankA
と書かれたりして今まではdimV=n-rankAで全てやってきたのですが
ときどき答えが合わず違いがわかりません。
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~yasuda/Chiba/Lec/senkei/LA2014b-2.pdf
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