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DS 数学 BBS・2
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59975.Re: 級数  
名前:at    日付:2019年04月18日(木) 19時36分
(-1/t)*log(1-t) = Σ[n≧1](t^(n-1))/n であるから、

∫[0,x]((-1/t)*log(1-t))dt = Σ[n≧1](x^n)/(n^2).

S(x) =∫[0,x]((-1/t)*log(1-t))dt とおく。
S(1/2) が求めたい値である。

S(x)
=∫[0,x]((-1/t)*log(1-t))dt
=∫[0,-log(1-x)](u*e^(-u)/(1-e^(-u)))du (u=-log(1-t) と置換)
=∫[0,-log(1-x)](u*(Σ[n≧1]e^(-n*u)))du
=Σ[n≧1]∫[0,-log(1-x)](u*e^(-n*u))du
=Σ[n≧1](((-(1-x)^n)/n)*log(1-x)-((1-x)^n)/(n^2)+1/(n^2))
=-log(x)*log(1-x)-S(1-x)+(π^2)/6.

よって、
S(x) + S(1-x) = -log(x)*log(1-x)+(π^2)/6.

x=1/2 とすれば、
S(1/2)=(π^2)/12-(1/2)*(log(2))^2 を得る。
pc24030.ibara.ne.jp (223.29.247.30)
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59849.Re: 級数  
名前:UO    日付:2019年04月06日(土) 20時14分
ぽけっと様

ご返答誠にありがとうございます。

一番知りたかったのは導出でしたが、結果だけでも大変助かりました。
本当にありがとうございました。
p2966191-ipngn201408tokaisakaetozai.aichi.ocn.ne.jp (114.154.150.191)
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59848.Re: 級数  
名前:ぽけっと    日付:2019年04月06日(土) 09時55分
難しいですね。
無限級数を計算してくれる人工知能サイトがあって、そこによると答えは
2/12) - {log2(2)}/2
のようです。

https://ja.wolframalpha.com/input/?i=1%E3%81%8B%E3%82%89%E2%88%9E%E3%81%AE%E3%81%A8%E3%81%8D%E3%81%AE1%2F((n%5E2)*(2%5En))%E3%81%AE%E5%92%8C

導出は分からないので他の人にまかせます。
(部分和がLerchの超越関数というものを用いて書けるので、これをキーワードに勉強すれば導出できるようになると想像しますが・・・)
役に立てば幸いです。
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59814.級数  
名前:UO    日付:2019年04月05日(金) 18時36分
無限級数

Σ_{n=1〜∞}1/{n^2・2^n}

の値を求めていただけませんでしょうか?

解き方がわからないもので、もし高校数学の範囲であれば申し訳ございません。。。。
よろしくお願いします。
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