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DS 数学 BBS・2
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60065.Re: 正則行列のランク  
名前:Panther    日付:2019年04月25日(木) 19時55分
gfの像じゃ?rankPA,つまりgfの像の次数を知りたいんですから。
fのやつはミスですね。gの像とその線型性です。
つまり、Imfの元cに対してgによる像を考えるんですから結局g(f(c))を考えたことになり、@がImgfを生成することが分かりました。Bは@のミスです
152.250.149.210.rev.vmobile.jp (210.149.250.152)
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59808.Re: 正則行列のランク  
名前:Panther    日付:2019年04月05日(金) 11時58分
ありがとうございます。

A,Pに対応する線型写像をそれぞれf,gとすれば, PAにはgfが対応する
rankA=r とし, Imfの1組の基底
a_1, a_2,..., a_r
を定め、この基底に対するgfの像をそれぞれp_1, p_2,..., p_r ...@
とおく。このr個がImgfの基底となることを示す。
まずcを任意のImfの元とすれば
c=(α_1)(a_1)+(α_2)(a_2)+...+(α_r)(a_r)
となる定数 α_1, α_2,..., α_r が存在し、この両辺のfによる像, またそのときfの線型性を考えると、
f(c)=(α_1)(p_1)+(α_2)(p_2)+...+(α_r)(p_r)
つまりBはImgfを生成する。また,
(α_1)(p_1)+(α_2)(p_2)+...+(α_r)(p_r)=0
とすれば, 両辺のgの逆写像g'による像を考えて、
(α_1)(a_1)+(α_2)(a_2)+...+(α_r)(a_r)=g'(0)
gは線型写像より g(0)=0 であるから
(α_1)(a_1)+(α_2)(a_2)+...+(α_r)(a_r)=0
つまり, a_1, a_2,..., a_r は一次独立であるので
α_1=α_2=...=α_r=0
でありこれから@が一次独立であることが分かった。以上より
rankPA=r=rankA
が示される

これでどうでしょう?
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59789.Re: 正則行列のランク  
名前:Panther    日付:2019年04月04日(木) 21時48分
A,Qに対応する線型写像をそれぞれf,gとすれば, AQは元xに対して, f(g(x))に対応して, Qは正則行列よりg(x)は全単射である
よって, f(g(x))とf(x)の値域は等しいことより, rankA=rankAQ
と言えますか?
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59782.正則行列のランク  
名前:Panther    日付:2019年04月04日(木) 21時06分
Pをn次の正則行列、Qをm次の正則行列、Aをn×m行列とします
rankA=rankAQ=rankPA
が成り立つことを示してください。
rankA=rankAQ
は成り立つと証明したつもりなんですが、間違ってるかもしれないので少し不安です。PAの方は分かりません。
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