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DS 数学 BBS・2
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59674.Re: 行列の対角化に関する不明点  
名前:黄桃    日付:2019年03月24日(日) 11時06分
B=Oとすれば、すぐその命題は偽とわかりますので、何かBに条件があるのでしょう。
Bは正定値(対角成分がすべて正)ではないでしょうか。
Aについても、対角化可能、が必要ですが、それだけでは難しいように思います。
なので、とりあえず問題の仮定を確認しましょう。
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59673.Re: 行列の対角化に関する不明点  
名前:カッティ    日付:2019年03月23日(土) 10時26分
間違っているかもしれませんが、
式変形しましたので回答記載いたします。

P^TBPが単位行列なので√BPは直交行列である。
P^(-1)AP=P^(-1)√B^(-1)(√BA√B^(-1))√BPが対角行列であるので、
√BA√B^(-1)が直交行列√BPにより対角化できればよい。
[定理]
 ある行列Mがユニタリ行列(直交行列)で対角化可能⇔Mが正規行列である。
により、√BA√B^(-1)が正規行列であればよい。すなわち
{√BA√B^(-1)}^T √BA√B^(-1) = √BA√B^(-1) {√BA√B^(-1)}^T
が成り立てば良い。( √BA√B^(-1)が実行列であるのでエルミート†は転置Tで構わない)
{√BA√B^(-1)}^T √BA√B^(-1) = √BA^TA√B^(-1)
√BA√B^(-1) {√BA√B^(-1)}^T = √BAA^T√B^(-1)
なので、√BA^TA√B^(-1) = √BAA^T√B^(-1)すなわち、
AB=BA^T ⇒ A^TA=AA^T
が言えれば良い。
対角行列 B=diag(b11,b22,...,bnn)
対称行列 AB=[a[1],a[2],...,a[n]], a[1]〜a[n]はABの列ベクトル。
A=[a[1]/b11,a[2]/b22,...,a[n]/bnn]
とおけば、
(A^TA)[i,j]=1/(bii*bjj)Σ[k=1:n]a[ik]a[kj]
他方
AA^T=ABB^(-1)B^(-1)BA^T=(BA^T)B^(-2)(AB)
(AA^T)[i,j]=Σ[k=1:n]a[ik]a[kj]/bkk^2
よって
AB=BA^T (ABが対称行列) ⇒ Σ[k=1:n](a[ik]/bii)(a[kj]/bjj) = Σ[k=1:n](a[ik]/bkk)(a[kj]/bkk)
ですが、これは成り立たない気がします。。。
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59668.行列の対角化に関する不明点  
名前:ねずみ鳥    日付:2019年03月22日(金) 16時35分
以下、行列はすべて大きさの等しい正方行列とし、行列Aの逆行列をA^(-1)、転置をA^Tと表します。

実行列A、および実対角行列BであってAB=B(A^T)なるものに対して、ある実行列Pが存在してP^(-1)APが対角行列かつ(P^T)BPが単位行列となるらしいのですが、その証明が分かりません。Bが単位行列の場合は実対称行列が直交行列で対角化できるということと同じで、上の命題はその拡張のように思うのですが……

どなたか教えて頂ければありがたいです。
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