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DS 数学 BBS・2
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59654.Re: 関数方程式  
名前:Luθy    日付:2019年03月18日(月) 19時39分
ありがとうございます。ご迷惑をおかけしました…
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59653.Re: 関数方程式  
名前:らすかる    日付:2019年03月18日(月) 15時36分
初等的は無理っぽい気がします。
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59652.Re: 関数方程式  
名前:Luθy    日付:2019年03月18日(月) 13時50分
丁寧な解答ありがとうございます。よくわかりました。
定義域があれば無限にあるとのことですが、もし定義域を設定した場合、そのような関数の中で初等的に書けるようなものはあるでしょうか。ありそうなら一例を教えていただけると助かります…
ご迷惑をおかけします。
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59651.Re: 関数方程式  
名前:らすかる    日付:2019年03月18日(月) 10時30分
もしf(x)が実数全体で定義された実数値関数と仮定すると、
条件を満たす関数は存在しないと思います。

与式から
f(x+1)+x≧0
f(x+1)≧-x
x≦0のときf(x+1)≧0
x≦1のときf(x)≧0
よって
x≦1のとき
f(x)=√{f(x+1)+x}

f(1)=C<2^{2^(m+1)} (Cはある正定数、mはある正整数)とすると
f(0)=√{f(1)}<2^(2^m)
f(-1)=√{f(0)-1}<2^{2^(m-1)}
・・・
f(-m)=√{f(-m+1)-m}<2^(2^0)=2
このときf(-m)-(m+1)<0なのでf(x+1)+x≧0と矛盾
従って条件を満たす関数は存在しない。

例えば定義域を[a,+∞)のように制限すればaがどんなに小さくても関数は存在しますが、
この場合a≦x<a+1に対するf(x)の値がどんな値であっても
f(x+1)={f(x)}^2-xに従って残りの定義域に対するf(x)の値が
自動的に決定して条件を満たしますので、
条件を満たす関数が無数に存在することになります。

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59644.関数方程式  
名前:Luθy    日付:2019年03月17日(日) 15時20分
以下の方程式を満たすf(x)を求めよ。
{f(x)}^2=f(x+1)+x
身勝手な話ですが、答えが一つだけかもわからず、条件もこれだけです。
どなたか教えていただけないでしょうか?
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