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59544.Re: 平成27年 阪大大学院 過去問 対称行列・直交行列  
名前:T    日付:2019年03月05日(火) 01時55分
横から失礼します。
大問2の5)について

まず k=1 の場合、H_1A の第1列が(1,1)成分を除いて 0 になればよい。
A の第1列を x とし、y=(±||x||,0,...,0)^T とおく、ただし、複合は x≠y となるように選ぶ。
このとき 4) のように u をとれば、H(u)x=y より、H(u)A の第1列が(1,1)成分を除いて 0 になる。

あとは D_k に対して同様に繰り返す(厳密には帰納法で)。
前半は大体こんな方針でできると思います。
後半は前半を利用して。
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59538.Re: 平成27年 阪大大学院 過去問 対称行列・直交行列  
名前:    日付:2019年03月03日(日) 18時22分
自分で考えてわからなさそうならそうします!
ありがとうございました!
http://www.sys.es.osaka-u.ac.jp/sch/sysexam/2015/H27-1.pdf
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59530.Re: 平成27年 阪大大学院 過去問 対称行列・直交行列  
名前:abc    日付:2019年03月02日(土) 17時38分
自分だと出来たとしても時間が掛かりそうなので他の方の解答を募る為にまた新たに載せた方が良いと思います。
力になれず申し訳ないです。

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59526.Re: 平成27年 阪大大学院 過去問 対称行列・直交行列  
名前:    日付:2019年03月01日(金) 23時52分
間違ってみておりました。理解しました。ありがとうございます。
差し支えなければ5番もお願いしたいです。1〜4はおかげで全て理解できました。
見落とし、思い込みって怖いです。
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59525.Re: 平成27年 阪大大学院 過去問 対称行列・直交行列  
名前:abc    日付:2019年03月01日(金) 23時41分
det(In +AB)=det(In +BA)でなくて正しくは
det(In +AB)=det(Im+BA)ですね。
つまりImはm次単位行列ですね。
ここではm=1であるのでI1=1となり。
det(In-2uu∧t)=det(I1-2u∧tu)
=det(1-2)=-1となると思います。

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59523.Re: 平成27年 阪大大学院 過去問 対称行列・直交行列  
名前:    日付:2019年03月01日(金) 19時41分
何度もすみません。これが正しいです。
この大問2の3.5が不明です。
http://www.sys.es.osaka-u.ac.jp/sch/sysexam/2015/H27-1.pdf
sp49-104-11-35.msf.spmode.ne.jp (49.104.11.35)
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59522.Re: 平成27年 阪大大学院 過去問 対称行列・直交行列  
名前:    日付:2019年03月01日(金) 19時40分
すみません。正しいURLはこちらです。
この3.5がわかりません。
http://www.sys.es.osaka-u.ac.jp/sch/sysexam/2014/H26-1.pdf
sp49-104-11-35.msf.spmode.ne.jp (49.104.11.35)
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59521.Re: 平成27年 阪大大学院 過去問 対称行列・直交行列  
名前:    日付:2019年03月01日(金) 19時37分
今後もききそうなので貼っておきます。この年の他はそこまでむずかしくないのに、線形代数の分野だけ異常に難しいです。

大問2は1.4は自力で、2はabcさんのおかけで解決できました。
3.5を教えていただけるとありがたいです。
sys.es.osaka-u.ac.jp
sp49-104-11-35.msf.spmode.ne.jp (49.104.11.35)
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59519.Re: 平成27年 阪大大学院 過去問 対称行列・直交行列  
名前:    日付:2019年03月01日(金) 17時48分
理解しました。結合則をめちゃくちゃにしてました。ありがとうございます。

ついでにお聞きしたいのですが、次の問題がdetH(u)をdet(In +AB)=det(In +BA)を用いて求めよという問題なのですが、その通りに
det(In-2uu^t)=det(In-2u^tu)=det(In-2)としたら、行列ではない2が出てきてしまうので、det(In-2In)としてdet(-In)=(-1)^nとしたのですが、例えばn=2のu=(1/√2.1/√2)^tとしてH(u)を求めると
H(u)=| 0 -1 |
| -1 0 |
となりこのdetH(u)は-1となり上の式と矛盾しました。他に条件を満たした値を入れたらたまたまかわかりませんが全てdetH(u)は-1となりました。

det(In-2)=det(In)-det(2)とすれば-1になりますが、det(A +B)=detA +detBは成り立たなかったはずなので詰まっています。他の年は全て解けたのにこの年の行列だけ何故か解けないのです。。次の(4)はいけましたが。よければ解説お願いします。
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59516.Re: 平成27年 阪大大学院 過去問 対称行列・直交行列  
名前:abc    日付:2019年03月01日(金) 07時15分
(-2u×u^t)×(-2u×u^t)=4(u×u∧t×u×u∧t)
u^t・u=1の条件より
4(u×u∧t×u×u∧t)の真ん中のu∧t×uが1となり故に4u×u∧tとなります。
お分かりかどうか分から無いので念のため言っておきますが行列の積は結合法則は成り立ちますが交換法則は基本的には成り立ちません。ですが行列に掛かっているスカラーだけは別です。つまり交換法則も結合法則も成り立ちます。これらを考慮すると上記の様になります。

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59514.Re: 平成27年 阪大大学院 過去問 対称行列・直交行列  
名前:    日付:2019年02月28日(木) 22時51分
返信ありがとうございます。
最後の2行の

=I×I+I×(-2u×u∧t)+(-2u×u∧t)×I+(-2u×u∧t)×(-2u×u∧t)
=I-4u×u∧t+4u×u∧t=I

の部分ですが、(-2u×u^t)×(-2u×u^t)=4u^2×u^2^tになりませんかね?
そこまでは同じなので安心しましたが、そこがu×u^tになることができなくて。。。
そこの解説をしていただきたいです。
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59513.Re: 平成27年 阪大大学院 過去問 対称行列・直交行列  
名前:abc    日付:2019年02月28日(木) 19時45分
Inというのをn次単位行列だと仮定します。
1,H(u)∧t=(I-2u×u∧t)∧t
=I∧t+(-2u×u∧t)∧t
=I-2{(u∧t)∧t}×u∧t
=I-2u×u∧t=H(u)
2,1よりH(u)×H(u)∧t={H(u)∧t}×H(u)
=(I-2u×u∧t)×(I-2u×u∧t)
=I×I+I×(-2u×u∧t)+(-2u×u∧t)×I+(-2u×u∧t)×(-2u×u∧t)
=I-4u×u∧t+4u×u∧t=I

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59512.平成27年 阪大大学院 過去問 対称行列・直交行列  
名前:    日付:2019年02月28日(木) 17時58分
u^t・u=1を満たす任意のn次元ベクトルuに対して、H(u)=In-2u・u^tとする。
(tは転置、Iは単位行列を示す)

1.H(u)^t=H(u) を示す。
2.H(u)が直交行列であることを示す。

関数の対称行列・直交行列の証明がうまくいきません。
お願いいたします。
大阪大学大学院の平成27年の過去問です。
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