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59306.Re: 2重積分でもxy平面上の面積を求められるか?  
名前:みさき    日付:2019年02月11日(月) 16時12分
ありがとうございました。
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59299.Re: 2重積分でもxy平面上の面積を求められるか?  
名前:X    日付:2019年02月10日(日) 21時01分
>>逆になぜ被積分関数が1でないf(x,y)ならば、2重積分であっても「体積」になるのでしょうか?

f(x,y)が積分領域を底面とする立体の高さになるからです。
1であれば、立体の高さが1という一定値ですので、
計算結果の値は底面積と等しくなりますよね。
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59298.Re: 2重積分でもxy平面上の面積を求められるか?  
名前:みさき    日付:2019年02月10日(日) 17時14分
ありがとうございます。

区分求積の復習したんですけど、完全にはわかりませんでした。
たとえば、2重積分の場合、被積分関数が1ならば、dxdyという微小面積の総和が積分区間の領域の「面積」となるということまでは理解できたのですが、では逆になぜ被積分関数が1でないf(x,y)ならば、2重積分であっても「体積」になるのでしょうか?
また、被積分関数が1でないf(x,y,z)の3重積分は、「4次元体積(?)」になるのでしょうか?

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59291.Re: 2重積分でもxy平面上の面積を求められるか?  
名前:X    日付:2019年02月10日(日) 09時58分
教科書で二重積分の区分求積による定義を復習しましょう。
その定義において被積分関数を1としたときに、二重積分が
何を表すかを考えれば理解できます。
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59288.Re: 2重積分でもxy平面上の面積を求められるか?  
名前:みさき    日付:2019年02月09日(土) 23時00分
わかりました。

では被積分関数が「1」なのは、どういう理由からなのですか?

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59287.Re: 2重積分でもxy平面上の面積を求められるか?  
名前:X    日付:2019年02月09日(土) 22時28分
>>わたしが出した例では、〜「1」以外の何かということでしょうか?
[A],[B]は重積分の積分範囲を表すサフィックスとして付けています。
被積分関数ではありません。
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59284.Re: 2重積分でもxy平面上の面積を求められるか?  
名前:みさき    日付:2019年02月09日(土) 15時20分
ありがとうございます。

わたしが出した例では、2重積分の被積分関数は「1」なのですが、
S=∫∫[A]dxdyの[A]や、
V=∫∫∫[B]dxdydzの[B]は、
「1」以外の何かということでしょうか?
例えば、exp(x)とかln(x+y)とか?

それとも、面積Sや体積Vのときは、被積分関数は常に「1」なのですか?

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59279.Re: 2重積分でもxy平面上の面積を求められるか?  
名前:X    日付:2019年02月09日(土) 10時38分
仰る通りです。
もう少し、一般的なことを言うと
xy平面上で平面図形となっている閉じた領域A
を考えるとき、その面積Sは
S=∬[A]dxdy
三次元空間において立体となっている閉じた領域B
を考えるとき、その体積Vは三重積分を用いて
V=∫∫∫[B]dxdydz
となります。
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59274.2重積分でもxy平面上の面積を求められるか?  
名前:みさき    日付:2019年02月08日(金) 20時18分
ふと気づいたのですが、積分区間が(0〜1)で被積分関数がxの面積は、
xの積分区間が(y〜1)でyの積分区間が(0〜1)で被積分関数が1の2重積分と等価ですか?
また、上記の考え方(〇〇変換のような名前が付いてるかどうか知りませんが)は、xyz空間に拡張しても一般性を失いませんか?

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