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59177.無限等比級数の収束、発散  
名前:chin    日付:2019年01月23日(水) 04時02分
rを正の実数、kを正の整数とする。

1.等比数列の和の公式を用いて、r≠1のとき、(1+r+r^2+・・・+r^k-1)/r^k=1/(1-r)(X-1)となるXを求めよ。

2.級数Σ[k=1,∞](1+r+r^2+・・・+r^k-1)/(r^k)の収束、発散を調べよ。


自分なりに計算した途中過程は以下のようになります。

1.r≠1のとき、等比数列の和の公式より、

(1+r+r^2+・・・+r^k-1)/r^k={1/(1-r)}*(X-1)

[{(1*(1-r^k)}(1-r)]/(r^k)=(X-1)/(x-1)

(1-r^k)/{r^k*(1-k)}=(X-1)/(x-1)

(1-r^k)/(r^k)=X-1

X=(1-r^k)/(r^k)+1

X=(1-r^k+r^k)/(r^k)

X=1/r^k

1については、この計算で合っていますか?

2.条件より、rを正の実数、kを正の整数だから、級数Σ[k=1,∞](1+r+r^2+・・・+r^k-1)/(r^k)の第k部分和をS[k]とおくと、r≠1のとき、等比数列の和の公式より、

S[k]=[{(1*(1-r^k)}(1-r)]/(r^k)

S[k]=(1-r^k)/{r^k*(1-r)}

S[k]=1/{r^k*(1-r)}-(r^k)/{r^k*(1-r)}

2について、ここまでの計算は合っていますか?
これ以降の計算方法が分かりません。恐らくrの値について場合分けをして考えるのだと思いますが、その場合どのように場合分けするべきか分かりません。


大変長くなりましたが、よろしくお願いします。
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