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59127.有限可解群の定義  
名前:だにー    日付:2019年01月10日(木) 21時24分
ガロア群の本によく載っている可解群の定義は
Gが可解群であるとは
(A)
アーベル的正規列が存在することすなわち
G=G_0,G_1,G_2,…,G_r={1}
があって、
(1)G_iはG_{i-1}の正規部分群
(2)G_{i-1}/G_{i}は可換群
がi=1,…,rについて成り立つというのを定義として
採用しているものが多いです。
しかし、有限群に対してはこれは次と同値とされています。
(B)
G=G^0,G^{1},…,G^{s}={1}
というGの部分群の列があって
(1)' G^{j}はG^{j-1}の正規部分群
(2)' G^{j}/G^{j-1}は素数位数の巡回群。

この同値性を証明するには
(B)ならば(A)は明らかなので
(A)ならば(B)を証明すればよいのですが
この証明が次のようにしています。
有限群なら(A)で保証された
アーベル的正規列を細分し組成列を作ることが
できる。このときアーベル群の単純群は
素数位数の巡回群しかないから
(B)が成り立つという組成列の知識がないと
証明できないものしか知りません。

もっと初等的な証明はありませんか?
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