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59049.Re: 円周率の無理性の証明  
名前:Morley    日付:2018年12月28日(金) 01時44分
個人的には、ニーベン・インケリの定理を用いて円周率の無理性の証明をするのが好きです。
なぜならば、最初にニーベン・インケリの定理さえ証明してしまえば「r^2が0でない有理数ならばcos(r)が無理数であること」や「π^2の無理性」まで証明できてしまうからです。

ニーベン・インケリの定理の証明には、もちろん微分積分学が使われています。
当たり前のことですが、このことから考えても微分積分学は非常に重要ですね。
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59047.Re: 円周率の無理性の証明  
名前:Morley    日付:2018年12月28日(金) 01時24分
ご返答ありがとうございます。
全くそのとおりですね。

三角関数は冪級数によって天下り的に定義されるのが普通ですね。
曲線の長さは、積分または折れ線近似で示されますので、どちらにせよ結局最後には積分表示になりますね。

どちらにせよ、極限や微分積分学を用いなければなりません。
なので、極限や微分積分学は必要不可欠ですね。
すなわち、微分積分学を用いた方法が最も簡単な証明方法ですね。
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59045.Re: 円周率の無理性の証明  
名前:さる    日付:2018年12月27日(木) 17時32分
三角関数は微分積分を用いずに定義されるのでしょうか?
ひいては、円周など、曲線の長さが微分積分を用いずに定義されるのでしょうか?

極限を用いないと定義されない対象の性質を、微分積分を用いずに示そうというのはナンセンスだと思います。
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59040.Re: 円周率の無理性の証明  
名前:Morley    日付:2018年12月27日(木) 02時57分
大学では「cos x が 0 を取るような x > 0 の最小値の2倍」が円周率の定義だと習いました。

リンデマンの定理などの飛び道具は使わないことにします。
連分数展開も考えないことにします。
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59036.Re: 円周率の無理性の証明  
名前:さる    日付:2018年12月26日(水) 11時41分
微積分を使わない、円周率の定義は何ですか?
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59022.円周率の無理性の証明  
名前:Morley    日付:2018年12月27日(木) 01時53分
円周率の無理性の証明は、ニーベンの証明のような微分積分学を使用した証明が最も簡単だと思われますが、それよりも簡単な証明方法を知っておられる方はいますか?
もし知っておられれば教えて下さい。
お願いいたします。

少なくとも微分積分学を使わなければ円周率が無理数でも有理数でも矛盾しないので、どちらか分からない気がします。
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