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59019.微分方程式  
名前:P    日付:2018年12月23日(日) 22時33分
大学数学、微分方程式論の問題です。

g = g(ξ) , h = h(ξ)はR上のC1級関数として2階の常微分方程式

d^2w/dt^2 + g(w)(dw/dt) + h(w) = 0

を考える。正定数δ > 0 , κ > 0が存在してg , hは次の条件を満たすと仮定する。

g(ξ) ≧ κ , h(0) = 0 , h'(ξ) ≧ δ (ξ ∈ R)

とする。このとき、任意のa,b∈Rに対してw(0) = a , w'(0) = bとなるような解w(t)がt ≧ 0で存在することを示せ。またlim[t→∞]w(t) = 0を示せ。

ヒント:H(ξ) = ∫[0→ξ]h(η)dηとして

(d/dt){(1/2)(dw/dt)^2 + H(w(t))} = (dw/dt)((d^2w/dt^2) + h(w(t)))

この問題の解き方が分かりません。教えてください。よろしくお願いします。
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