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59006.Re: 雪江代数学問題  
名前:だにー    日付:2018年12月21日(金) 10時16分
>通りすがり様

このような論理の問題は本当に大切ですね。
自分は今数学と全く関係のない仕事してますので
このような指摘は本当に大切だなと思います。

どうもありがとうございます。
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59005.Re: 雪江代数学問題  
名前:通りすがり    日付:2018年12月21日(金) 09時25分
自分で言っておきながら,複数の意味に読める文を書いてしまったので,59004 の投稿の修正をさせて下さい.

(2) については

 P ならば Q を満たす x が存在する

と表現するとよいと言いましたが,

 「P ならば Q」を満たす x が存在する

などとすべきですね.失礼致しました.
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59004.Re: 雪江代数学問題  
名前:通りすがり    日付:2018年12月21日(金) 09時22分
だにー様

「x が存在して P ならば Q」の様な表現は,

 (1) (∃xP) ⇒ Q
 (2) ∃x(P ⇒ Q)

の二通りに解釈できますので不適切です.より正確な表現で書かれた方が宜しいかと存じます.例えば,(1) については

 P を満たす x が存在するならば,Q である

(2) については

 P ならば Q を満たす x が存在する

と表現すると意味がより明確になります.
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59002.Re: 雪江代数学問題  
名前:だにー    日付:2018年12月21日(金) 07時49分
すいません。ちゃんと問題かかないとわからないですね。
G=GL_n(R)(実数R上の一般n次線型群)、BをGの元で下三角行列であるもの全体の部分群とする。
(1)g=(g_{ij})∊GL_n(R)とする。g_{in}≠0である最小のiをi_nとするとき、b_1、b_2が存在し、h=b_1gb_2=(h_ij)がh_in=0(i≠i_n)のとき,
h_i_nj=0(j≠0)という条件を満たすことを証明せよ。
(2)g=(g_ij)∊GL_n(R)に対してb_1,b_2∊Bが存在しb_1gb_2が置換行列になることを証明せよ。
(3)σ,τ∊S_n(n次対称群)でP_σ、P_τを対応する置換行列とする,
b_1,b_2∊Bが存在してb_1P_σb_2=Pτならばσ(n)=τ(n)を証明せよ。
(4)b_1,b_2∊Bが(3)の条件を満たすなら、b_1=(b_{1,ij})とするとき
b_1,iσ(n)=0(i≠σ(n))であることを証明せよ。また
νを置換
(σ(n)→n σ(n)+1→σ(n) σ(n)+2→σ(n)+1 …n→n-1)
(かっこが2行にまたげてかくことができないのでこれは
矢印の先が行先である置換を示す)
とするとき、P_νb_1P_ν^{-1}∊Bを証明せよ。
(5)b_1,_2∊Bが(3)の条件を満たすならσ=τを証明せよ。

解答は(1)はn列の左基本変形でまずi_n行をg_{i_n,n}^{-1}倍して成分を一とし、他のn列目の成分を0にするには基本変形の行列は下三角行列となることが書いてみればわかる。
今度はi_n行の他の成分を0にするのも右変形で行うときやはり下三角行列になることがわかる。
(2)は順番に(1)の変形を列の大きい順に繰り返していけばよい。ここでgがランクがnであることを用いる。
ここまでは分かったのですが(3)以降が手につきません。よろしくお願いします。
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58989.雪江代数学問題  
名前:だにー    日付:2018年12月19日(水) 23時58分
雪江明彦先生の代数学1群論入門、問題2.7.2で(1)、(2)は解けたのですが、(3)以降が解けません。(1)、(2)は行列の基本変形の考え方を用いたら解けたのですが。
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