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DS 数学 BBS・2
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58945.Re: 分解群、惰性群と写像 D_{M/P}→Galois群の全射性についての証明  
名前:スメッシ    日付:2018年12月09日(日) 16時09分
解説ありがとうございます!
σの変形が重要だったのですね
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58934.Re: 分解群、惰性群と写像 D_{M/P}→Galois群の全射性についての証明  
名前:T    日付:2018年12月07日(金) 22時33分
すみません、下の書き込みで
 B=A, B≠A
となっているところを
 B/M=A/P, B/M≠A/P (より厳密に言えば、B/M と A/P が同型、非同型)
に訂正します。
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58931.Re: 分解群、惰性群と写像 D_{M/P}→Galois群の全射性についての証明  
名前:T    日付:2018年12月07日(金) 01時21分
以下、αにバーを付けたものを bar(α) と書きます。


>f(y)=Π_{σ∈H} (y-σ(α)) for some subset H⊂G
(ここは大丈夫かもしれませんが一応)
f(y) の根は α の A 上の共役元なので、ある σ∈Gal(L/K) を用いて σ(α) と表せます。


>the only non-zero roots of f(y) mod M are the elements σ(α) mod P, with σ∈D_{M/P}
"σ(α) mod P" は "σ(α) mod M" の誤りのような気がします。
(σ(α) mod P だと意味が通らないような…勘違いでしたらすみません)

あと、B=A, bar(α)=0, α=0 の場合この一文は正しくなくなります。(f(y) が 0 でない根を持たないので)
とはいえ、B=A の場合に Lemma が成り立つことはすぐに分かるので、
B≠A の場合の証明だと思って読めば問題無いでしょう。
そうすると、以下のようにして分かります:

以下、B≠A と仮定する。このとき bar(α)≠0 であるから、α は M に属さない。
したがって、直前の α の取り方から
 α∈σ(M) ⇔ σ(M)≠M
が成り立つ。これを踏まえて f(y) mod M の各根 σ(α) mod M に対して
 σ(α) mod M が 0 でない
 ⇔σ(α)∈M でない
 ⇔α∈σ^(-1)(M) でない
 ⇔σ^(-1)(M)=M
 ⇔σ^(-1)∈D_{M/P}
 ⇔σ∈D_{M/P}
を得る。


>the elements bar(σ)(bar(α)), σ∈D_{M/P}, are exactly the roots of the polynomial g(y)
ここも B≠A を仮定します。
bar(σ)(bar(α)), σ∈D_{M/P} は bar(α) の A/P 上の共役元なので、g(y) の根です。
逆に、g(y) の根は f(y) mod M の根でもあり、しかも 0 でないので、上の結果から bar(σ)(bar(α)), σ∈D_{M/P} の形で表せます。
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58918.分解群、惰性群と写像 D_{M/P}→Galois群の全射性についての証明  
名前:スメッシ    日付:2018年12月05日(水) 00時42分
画像の線を引いたところの論理がわかりません。
記号は、
A:Dedekind domain, K=Frac(A), L/K:Galois extension, B:The integral closure of A in L, M:A maximal ideal of B, P:= M∩A (hence the maximal ideal of A), D_{M/P} :the decomposition group.

おそらく線を引いた箇所の一個前の文にある、αの取り方が肝な気がするのですが、それ以上進展がなくて、、

よろしくお願いします。

https://imgur.com/GB6EA8O
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