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DS 数学 BBS・2
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58778.Re: 既約な多項式?  
名前:egory_cat    日付:2018年11月25日(日) 12時41分
そうです。

グレブナー基底はブッフバーガーのアルゴリズムで計算できます。
ブッフバーガーのアルゴリズムはS多項式の計算と割り算の繰り返しですが、どちらも係数体を拡大してもやることが変わりません
151.177.138.210.rev.vmobile.jp (210.138.177.151)
Mozilla/5.0 (Linux; Android 8.0.0; BLA-L29) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/70.0.3538.80 Mobile Safari/537.36

58772.Re: 既約な多項式?  
名前:微分計算    日付:2018年11月24日(土) 17時03分
すみません。


冷静に考えれば考えるほど、「グレブナー基底が係数体によらない」
というのが分からなくなってきました。


有理数係数上で あるイデアルIのグレブナー基底Gを求めたとしたら、
Gは実数係数や複素数係数の多項式環のイデアルIのグレブナ基底でもあるということでしょうか?

p147034-ipngn200209okayamahigasi.okayama.ocn.ne.jp (180.10.18.34)
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58765.Re: 既約な多項式?  
名前:微分計算    日付:2018年11月21日(水) 05時54分

誠に遅くなりましたが、回答していただいた方々に
きちんとお礼を申し上げます。


大変ありがとうございました。助かりました。

p147034-ipngn200209okayamahigasi.okayama.ocn.ne.jp (180.10.18.34)
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58729.Re: 既約な多項式?  
名前:egory_cat    日付:2018年11月16日(金) 15時35分
おみごとです。
110.255.149.210.rev.vmobile.jp (210.149.255.110)
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58728.Re: 既約な多項式?  
名前:微分計算    日付:2018年11月16日(金) 11時03分
すみません. きちんと貼れていませんでした.

続きです.簡約グレブナー基底の計算結果は{1}です!


(%o13)
poly_reduced_grobner([e+b,f+a,i+b*e+c+3,g+e+2*b+1,j+b*f+a*e,l+b*i+c*e,f+d+2*a,i+h+b*g+a*f+2*c+6,k+b*j+a*i+c*f,m+b*l+c*i-3,g+b,j+a*g+b*d,l+a*j+b*h+c*g,a*l+b*k+c*j,b*m+c*l,d+a,h+a*d+c+3,k+a*h+c*d,m+a*k+c*h-3,a*m+c*k,c*m+1],

[1]


58727.Re: 既約な多項式?  
名前:微分計算    日付:2018年11月16日(金) 10時57分

egory_cat さん, 回答ありがとうございます.


グレブナー基底を復習したことで, ようやく仰っていることが理解できました! (グレブナー基底は5年位前に学んだので内容をほとんど失念していました.)


MAXIMA で計算してみると, 確かに 最高次以外の係数のなすイデアルの簡約グレブナー基底が{1}となり, 係数がすべて同時には 0 になりえないことが分かるので, F=GH とは表せない. したがって,Fは既約ですね!


参考までに, 計算結果を下にコピペしておきます.
(非常に見にくいとは思いますが・・・)



-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


(%i11) load(Grobner);

(%o11)

(%i10)" target="_blank">"C:\maxima-5.41.0a\share\maxima\5.41.0a_dirty\share\contrib\Grobner\Grobner.lisp"

(%i10)

e*y^5+b*y^5+f*x*y^4+a*x*y^4+i*y^4+b*e*y^4+c*y^4+3*y^4+g*x^2*y^3+e*x^2*y^3+2*b*x^2*y^3+x^2*y^3+j*x*y^3+b*f*x*y^3+a*e*x*y^3+l*y^3+b*i*y^3+c*e*y^3+f*x^3*y^2+d*x^3*y^2+2*a*x^3*y^2+i*x^2*y^2+h*x^2*y^2+b*g*x^2*y^2+a*f*x^2*y^2+2*c*x^2*y^2+6*x^2*y^2+k*x*y^2+b*j*x*y^2+a*i*x*y^2+c*f*x*y^2+m*y^2+b*l*y^2+c*i*y^2-3*y^2+g*x^4*y+b*x^4*y+j*x^3*y+a*g*x^3*y+b*d*x^3*y+l*x^2*y+a*j*x^2*y+b*h*x^2*y+c*g*x^2*y+a*l*x*y+b*k*x*y+c*j*x*y+b*m*y+c*l*y+d*x^5+a*x^5+h*x^4+a*d*x^4+c*x^4+3*x^4+k*x^3+a*h*x^3+c*d*x^3+m*x^2+a*k*x^2+c*h*x^2-3*x^2+a*m*x+c*k*x+c*m+1

(%i12)

poly_reduced_grobner([%o10], [x,y]);

(%o12)

58723.Re: 既約な多項式?  
名前:微分計算    日付:2018年11月15日(木) 23時00分
ごめんなさい。。。
よく分かりません。

p147034-ipngn200209okayamahigasi.okayama.ocn.ne.jp (180.10.18.34)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:63.0) Gecko/20100101 Firefox/63.0

58722.Re: 既約な多項式?  
名前:egory_cat    日付:2018年11月15日(木) 20時05分
グレブナー基底は係数体によりません。
GとHの低次の係数を全部変数にして、F-GHの係数全体が生成するイデアルのグレブナー基底を計算すると{1}になります。グレブナー基底の計算は係数体によりません。有理数体だろうが複素数体体だろうが、F=GHとなるようにGとHの係数を定めることは出来ません。
120.251.149.210.rev.vmobile.jp (210.149.251.120)
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58721.Re: 既約な多項式?  
名前:微分計算    日付:2018年11月15日(木) 22時17分
「グレブナー基底を用いて示すことはできます」
とおっしゃるのは手計算でグレブナー基底を求めるのですよね?


コンピュータによるグレブナー基底の計算は係数が
有理数体まで ですし・・・


繰り返し申し上げますが、「実数体上で既約」かどうか気にしております。
なので、コンピュータ等での自動判定は難しいのかなと思います。。。

p147034-ipngn200209okayamahigasi.okayama.ocn.ne.jp (180.10.18.34)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:63.0) Gecko/20100101 Firefox/63.0

58720.Re: 既約な多項式?  
名前:egory_cat    日付:2018年11月15日(木) 18時43分
エレガントでなくてもとにかく既約であることが示せればいいなら、
F=(x^2+y^2-1)^3-x^2y^3
G=(x^2+y^2)+(1次以下の項)
H=(x^2+y^2)^2+(3次以下の項)
F=GHと因数分解されると仮定して、
未定係数法でF-GHの全てがゼロになるように
G, Hの低次の係数を決めることが出来ないことをグレブナー基底を用いて示すことはできます。
120.251.149.210.rev.vmobile.jp (210.149.251.120)
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58717.Re: 既約な多項式?  
名前:らすかる    日付:2018年11月15日(木) 10時32分
私の回答は有理数体上で考えていますので、無視して下さい。
i121-114-88-228.s41.a010.ap.plala.or.jp (121.114.88.228)
Mozilla/5.0 (Windows NT 5.1; rv:52.0) Gecko/20100101 Firefox/52.0

58716.Re: 既約な多項式?  
名前:微分計算    日付:2018年11月15日(木) 08時17分

「実数係数の2変数多項式」なので、
実数体上での既約性を考えています。


計算機代数システムの類だと、有理数体上での1変数多項式の既約判定アルゴリズムはあるようなのですが、私が問題としているのは「実数体上での2変数多項式」ですので より複雑になり困っております。。。

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58715.Re: 既約な多項式?  
名前:IT    日付:2018年11月15日(木) 07時50分
横から失礼します。
らすかる さんの回答は「整数」か「有理数」係数上で考えておられるように見えますが
微分計算さんの問題は「何」上で「既約な多項式」ということでしょうか?

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58714.Re: 既約な多項式?  
名前:微分計算    日付:2018年11月15日(木) 05時19分
申し訳有りません。学力不足で
何を仰っているのかいまいち
良く分かりません。

まずは御回答を理解してみます・・・

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58710.Re: 既約な多項式?  
名前:らすかる    日付:2018年11月14日(水) 23時31分
こういう方法で良いかどうかわかりませんが

y=2とするとx^6+9x^4+19x^2+27
f(x)=x^6+9x^4+19x^2+27とおく。
f(x)>0から奇数次の因数は持たないので、
因数分解できるなら2次の因数を持つ。
2次の因数g(x)=x^2+ax+bを持ったとすると、g(x)>0なのでb>0
よってb=1,3,9,27
f(2)=f(-2)=311(素数)からg(2)=1,311、g(-2)=1,311
g(2)+g(-2)=2b+8だが1+1<2b+8<1+311なので不適
従ってf(x)は既約なので、元の式も既約。

i121-114-88-228.s41.a010.ap.plala.or.jp (121.114.88.228)
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58708.既約な多項式?  
名前:微分計算    日付:2018年11月15日(木) 08時18分
実数係数の2変数多項式 (x^2 +y^2 -1)^3 - x^2 y^3 が既約かどうか調べたいのですが、既約の定義にのっとって示そうにも次数が6なので複雑になり、よく分かりません。

どなたかご助言をいただけると嬉しいです!

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