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58730.Re: 部分空間  
名前:カッティ    日付:2018年11月16日(金) 23時17分
体K上の線形空間Vとは、Vに「加法」と体Kによる「スカラー演算」と
その分配法則が定義された空間Vのことです。
体KはR(実数)やC(複素数)などです。

加法の演算は
交換法則
a+b=b+a (a,b∈V)
結合法則
(a+b)+c=a+(b+c) (a,b,c∈V)
零元が存在する
a+0=a
逆元が存在する
a+(-a)=0
で定義されます。

スカラー演算は
結合法則
(λμ)a=λ(μa) (a∈V, λ,μ∈K)
単位元1∈Kが存在する
1a=a
分配法則
λ(a+b)=λa+λb (a,b∈V, λ∈K)
(λ+μ)a=λa+μa (a∈V, λ,μ∈K)
です。

W(⊂V)が線形部分空間であるとは
@ Wが上記の線形演算の公理を満たしており、
A 線形演算でWからはみ出ない空間のことです。
@はVの部分空間なので自明
Aは次と同値です。
a + b ∈ W  (a,b∈W)
λa ∈ W   (a∈W, λ∈K)

λa+μb∈W (a,b∈W, λ,μ∈K)

線形空間を定義すると、Vの元v1,v2,...,vnの「線形結合」
c1・v1+c2・v2+...+cn・vn∈V  (c1,c2,...cn∈K)
を考えることができ、

Vのある元の組e1,e2,...,enが「基底」であれば、
Vの任意の元vが
v=x1・e1+x2・e2+...+xn・en
で一意に表され、v=(x1,x2,...xn)と見なすことができると思います。


直観的には原点を通るまっすぐな図形だと思います。
線形空間V上の2つの直線W1,W2⊂Vがあったとき
W1+W2:={x=y+z;y∈W1,z∈W2} 線形部分空間である
W1∪W2:={x;x∈W1またはx∈W2} 線形部分空間でない
(※a∈W1,b∈W2,∀λ,μ∈Kのとき、a,b∈W1∪W2であり、
λa+μb∈W1∪W2と仮定すると
∃ξ,λa+μb=ξa∈W1、または、
∃η,λa+μb=ηb∈W2、のどちらかが成り立つ。
λa+μb=ξa∈W1の場合を考えると
μb=(ξ-λ)a ∈W2∩W1(左辺∩右辺)={0}であり、λ,μは任意なので矛盾)
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58688.部分空間  
名前:カドニウム    日付:2018年11月12日(月) 21時14分
線形代数の部分空間とは何を表しているのですか?

1、a + b ∈ S
2、αa ∈ S
(for all a, b ∈ S and for all α ∈ K)

を用いて部分空間か否かの判別は具体的にどのようにすれば良いのですか??
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