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58686.lim[x→0]sin x/x = 1 の証明の正当性  
名前:Morley    日付:2018年11月21日(水) 04時28分
ぽんすれ氏 様
新しいスレッドに変更いたしました.

>>単位円による定義であれば,グラフに示したくなるところですが,
>>解析的な観点から見ればそれは証明になりません.
>どうしてでしょうか.高校数学での三角関数の定義を考えると,高校数学の範囲内では何らおかしな点は見られない気がしますが.

確かに単位円による定義のグラフを書けばサインが奇関数だということは分かります.
ただし,数式からf(-θ)=-f(θ),すなわち sin(-θ) = -sinθを導出してはいないのです.
「グラフから見て」というのは,あまりにも幾何学的であり,解析的な観点から見れば不十分な証明です.
ただし,幾何学的な観点から見れば正しいのは事実です.
(高校範囲では正しいと思います.)

>>高校範囲で出てきますが,これは定理なので証明しなければなりません.
>>証明するのであれば,厳密には「解析入門T(杉浦),pp.346-348」,
>>簡易的には「理工系微分積分学(荒井),pp.183-184」あたりの証明が
>>必要ではないかと思います.
>>そうしないと,今回のような基本的事項を証明している場合には証明にならないと思います.

>高校数学では,この式がきちんとした証明をなしに与えられており,尚且つ公式として利用されているしそのことを暗に認められているというのが現状です.
>そのことを踏まえると,高校数学の範囲内で話を行うのであれば「これはこれでよい」と個人的には思います.
>そうではなくて,大学数学の範囲で考えるならば証明をきちんと行う必要があります.

高校の数学も大学の数学も数学は数学です.
違うものとしてとらえるほうがナンセンスだと感じます.
正しい真理は常に正しいのです.
ですから,正しいという証明が必要ではないかと思います.
ただし,興味のある人がこの大学範囲の証明を読めば良いとしているならば,筋が通っています.
(どうしても高校範囲だけで議論したいのであれば,大学範囲の議論が必要なことも一言付け加えるべきです.)

>θ=∫_[0,s]√(1-y^2)dy
>を示すために「扇形の弧長は,扇形の半径と扇形の中心角の積に等しい」ということが用いられていますが,問題はこの性質がどの様にして導かれたのかという点です.
>もしこの性質を証明するために「三角関数の微分」が用いられていれば,回避したかった循環論法が起こってしまいます.
>そういうわけで,件の記事の内容が「高校数学の範囲内」で正しいかどうかは上記の扇形の弧長に関する性質がどう導かれたかに依りますし,これは件の記事の中では自明ではなく議論すべき点なので非常に大事です.

私もこの意見に同意します.
結局,「扇形の弧長は,扇形の半径と扇形の中心角の積に等しい」ことを循環論法なしに示すには,最低限Arcsinの逆関数としてsinを定義すると示すか冪級数による定義によって示すべきだろうと思います.
個人的な意見として「扇形の弧長は,扇形の半径と扇形の中心角の積に等しい」という関係を導くには,冪級数による定義にしたほうが厳密かつ,わかりやすいと思います.
(「解析入門T(杉浦),p.185」に偏角の幾何学的意義が記載されています.これを読んで理解できれば,冪級数で定義したほうが論理的な見透しが良い事に気付けるはずです.冪級数,オイラーの公式などが必要になってくるので大学範囲になります.)

かなり大らかに考えれば,基本的な部分は高校範囲で証明できます.
まず,Arcsinの逆関数としてsinを定義したものと考えます(これは大学範囲).
Arcsin s =θ=∫_[0,s]dy/√(1-y^2) を逆関数の微分公式(数V)を用いて微分すればsinθの微分√(1-(sinθ)^2)が求まり,それをcosθとおき,cosθの微分は合成関数の微分公式(数V)を用いることによって-sinθと計算できます.(「微分積分(黒田成俊),pp.177-178」に証明があります.ただし,定義域が実数全体へ延長されているものとします.)
上記の方法によって計算された導関数であれば,サインの微分を逆関数の微分公式(逆関数定理)で与えて,コサインの微分を合成関数の微分公式で与えているので,循環論法にはなりません.
もちろん,被積分関数の連続性,逆正弦関数の逆関数の存在,正弦関数・余弦関数の定義の正当性,定義域の実数全体への延長,逆関数の微分公式や合成関数の微分公式も証明しなければなりません(これは大学範囲).
そこまで証明したとして考え, 偏角をθ≧0,半径をr>0, x(t)=r cos t, y(t)=r sin t(0≦t≦θ)とすると
円弧の長さは
∫_[0,θ]√{{x'(t)}^2+{y'(t)}^2}dt
=∫_[0,θ]√{{(r cos t)'}^2+{(r sin t)'}^2}dt
=∫_[0,θ]√{(-r sin t)^2+(r cos t)^2}dt
=∫_[0,θ]r dt
=rθ
と分かります.また,θ<0のときの円弧の長さはr|θ|です.
これは「扇形の弧長は,扇形の半径と扇形の中心角の積に等しい」ということです.
(sin t)^2+(cos t)^2=1の証明については,微分するなどして導出してください.
逆関数定理から導いた微分ではlim[x→0]sin x/x = 1 は使っていませんから,sin,cosを微分しても循環論法にはなりません.

ただし,Arcsinの逆関数としてsinを定義するものとし,厳密に議論するとなれば,大学範囲の証明は下記の参考文献のサイトが示す通り,簡単ではありません.
「微分積分(黒田成俊),pp.176-183」には,Arcsinの逆関数としてsinを定義する方法が記載されています.ゆえに,簡単ではありませんが,無理難題なわけではありません.
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0.pdf
p220208171033.tst.ne.jp (220.208.171.33)
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