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DS 数学 BBS・2
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58662.Re: ほとんど交わりのない集合  
名前:だにー    日付:2018年11月08日(木) 19時58分
>通りすがりさん

確かに{ω} ∪ ω は反例になりそうでした。

論述の方法についてはおっしゃる通りです。

いろいろアドバイスありがとうございました。
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58659.Re: ほとんど交わりのない集合  
名前:通りすがり    日付:2018年11月08日(木) 16時28分
だにー さん

【58657 への返答】
> ほとんど交わりがない定義にはすべての元の濃度は P(ω)の元の場合ωであるということが書いてありました

良かったです.そうでなければ,私が提示した {ω} ∪ ω は反例となってしまうところでした ( F = {ω} ととればよい).

【58658 への返答】
ご提示の証明で基本的に問題はないと思いますが,論述において,若干の違和感を覚える点がいくつかございます.

> 任意のAのFのすべての元と異なる元yに対して|y∩x_i|<ω
(このようなAの元はAが無限個の元からなることから
いえる

「A の濃度は無限でほとんど交わりがないので,A - F の元 y で |y∩x_i|<ω を満たすものが存在する」と書いた方が適切です.

確かに A - F の任意の元 y に対し |y∩x_i|<ω ですが,
この主張はそのような y の存在を保証する訳ではありませんし,
そもそも主張したいのは,だにーさんが括弧書きで書かれている
上記の様な y の「存在」な訳ですから.

> よって y が無限ならば

「y は無限なので」の方が適切かと存じます.「P ⇒ Q」単体では Q を導きません.

最後に,証明において背理法を使っている様に書かれておりますが,不必要かと存じます.

上記の y の存在から,だにーさんの議論によって直接的に |ω\UF|=ω が示されております.
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58658.Re: ほとんど交わりのない集合  
名前:だにー    日付:2018年11月08日(木) 11時28分
自己解決しました!
次のように証明すればいいと思いますがどこか間違いがあれば
教えてください。
|ω\∪F|<ωとする。
F={x_1,x_2,---,x_n}とすると
任意のAのFのすべての元と異なる元yに対して|y∩x_i|<ω
(このようなAの元はAが無限個の元からなることから
いえる)
よってnは有限だから
|y∩∪F|<ω
よって
yが無限ならば
|y\∪F|=ω
よってyСωより
|ω\UF|=ω
となり矛盾する。
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58657.Re: ほとんど交わりのない集合  
名前:だにー    日付:2018年11月08日(木) 10時26分
>通りすがりさん

ごめんなさい。ほとんど交わりがない定義にはすべての元の濃度は
P(ω)の元の場合ωであるということが書いてありました。自分もそこを勘違いしていました。なので通りすがりさんの集合族はあてはまりません。
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58655.Re: ほとんど交わりのない集合  
名前:だにー    日付:2018年11月08日(木) 08時19分
>通りすがりさん

いいですね。
任意の異なるa,b<ωに対してはa<bならばa∩b=a<ωであり
a∩ω=a<ωなので、ほとんど交わりのないサイズωの集合族ですね。

すばらしい例ありがとうございます。
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58651.Re: ほとんど交わりのない集合  
名前:通りすがり    日付:2018年11月08日(木) 06時15分
私の勘違いかもしれませんが,

A = {ω} ∪ ω = {ω} ∪ { α | α < ω }

は「ほとんど交わりがない」という認識でよいでしょうか?
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58650.Re: ほとんど交わりのない集合  
名前:だにー    日付:2018年11月07日(水) 23時43分
>のぼりんさん

ご回答ありがとうございます。
ごめんなさい。説明が不十分でした。
ほとんど交わりのないという定義では
Aの任意の「異なる」元x、yに対して
|x∩y|<ωということでした。
なので、Fは有限集合ですが(つまり|F|<ω)、
Fの元は有限集合とはかぎりません(つまりA∍xに対して|x|=ω)もあり得ます。

なのでせっかく回答していただいたのに説明不十分で
ごめんなさい!
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58648.Re: ほとんど交わりのない集合  
名前:のぼりん    日付:2018年11月07日(水) 21時29分
こんばんは。
∀a∈A を取ります。
条件で x=y=a とおけば、|a|=|x∩y|<ω です。
F の元は全て有限集合で、かつ F は有限集合だから、|∪F|<ω です。
よって、|ω\∪F|=ω です。
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58641.Re: ほとんど交わりのない集合  
名前:だにー    日付:2018年11月07日(水) 13時02分
すいません。
4行目の
「Aの任意の有限部分集合」

「Aの任意の有限部分集合F」です
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58634.ほとんど交わりのない集合  
名前:だにー    日付:2018年11月07日(水) 09時01分
Aをp(ω)の部分集合でほとんど交わりがない濃度κの集合族とします。(κは無限濃度)
ここでほとんど交わりがないとはAの任意の元x,yについて
|x∩y|<ωとなることをいいます。
このときAの任意の有限部分集合について
|ω\∪F|=ωを証明してください。
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