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58608.Re: 等長変換の全単射  
名前:tomato    日付:2018年11月04日(日) 20時17分
通りすがりさん、補足ありがとうございます。
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58607.Re: 等長変換の全単射  
名前:通りすがり    日付:2018年11月04日(日) 19時51分
些か衒学的ではありますが,大学以降の数学における構造論的な見方をきちんと学ぶ上では大切だと思いますので,若干の補足をしておきます.

ご提示の問題では,2 つの平面には通常の距離が入っていることを前提としていると思われますが,当該問題の 2 つの平面に通常とは異なる距離を入れた場合,問題の主張は成立しなくなります.

例えば,集合 A の直積 A × A から実数体 RR への写像 d を

 d(a,b) = 1 (a ≠ b のとき),d(a,b) = 0 (a = b のとき)

で定めると,d は距離関数となります.

S を RR^2 に上記の距離を入れた距離空間とし,写像 f: S -> S を

 f(r,s) := (2^r,2^s)

で定めると,f は等長写像ですが,全射ではありません.
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58606.Re: 等長変換の全単射  
名前:tomato    日付:2018年11月04日(日) 16時35分
ITさん、丁寧な解説ありがとうございます。
自分の考えていた回答の作り方と違っていてとても勉強になりました。
残りの細かいところは自分で頑張ろうと思います。
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58605.Re: 等長変換の全単射  
名前:IT    日付:2018年11月04日(日) 11時46分
fを平面1から平面2への等長変換とする。

平面2上の任意の点をPとする。

平面1上の異なる2点A,Bを取る。
f(A)=P または f(B)=P のとき OK
そうでないとき
 f(A)P=aかつf(B)P=b とおく
 AC=aかつBC=b となる平面1上の点Cは1個か2個
 2個のとき
  C≠C',AC=a,BC=b,AC'=a,BC'=bとする
  fは等長変換なので
   f(A)f(C)=a,f(B)f(C)=b,f(A)f(C')=a,f(B)f(C')=b
  fは単射より f(C)≠f(C')
  f(A)P=a,f(B)P=b となる点Pは高々2個なので
  f(C)=Pまたはf(C')=P

 AC=aかつBC=b となる点Cが1個のときも同様

(注)あまりに簡単な初等幾何学しか使ってないので何か考え漏れがあるかも知れません.
あるいは「AC=aかつBC=b となる平面1上の点Cは1個か2個」などを証明しないといけないのかも知れません。

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58599.等長変換の全単射  
名前:tomato    日付:2018年11月03日(土) 23時55分
平面から平面への写像で、どのような2点の間の長さも保つものは、
等長変換と呼ばれる。等長変換は全単射でなければならないことを
証明せよ。
という問題なのですが、単射性はわかったのですが、全射性が
わかりません。
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