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58503.Re: 素元は存在しますか?  
名前:微分計算    日付:2018年10月28日(日) 03時57分
私の質問にお付き合いしていただき
誠にありがとうございました。
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58491.Re: 素元は存在しますか?  
名前:T    日付:2018年10月26日(金) 16時53分
いいと思います!
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58490.Re: 素元は存在しますか?  
名前:微分計算    日付:2018年10月26日(金) 15時50分

次元1のネーター局所環 R'は正則局所環ではないので

R'の素イデアル(x,y)は単項イデアルの形では表せない。

よって、R'の単項素イデアルは(0)のみ であり、

R'に素元は存在しないことが分かる。




といった、感じですね!
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58489.Re: 素元は存在しますか?  
名前:T    日付:2018年10月26日(金) 08時51分
素元の有無を確かめるのに使います。
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58486.Re: 素元は存在しますか?  
名前:微分計算    日付:2018年10月26日(金) 07時00分
R'は正則局所環でない

ことがどう活きてくるのでしょうか。
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58476.Re: 素元は存在しますか?  
名前:T    日付:2018年10月25日(木) 17時49分
その通りです。

補足すると、
・整域であるから (0) は素イデアル。
・1次元であるから (0) 以外の素イデアルは極大イデアル。
・局所環であるから極大イデアルはただ一つ。
ということで、「1次元局所整域」という事実のみから素イデアルがその2つしかないことが従います。
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58475.Re: 素元は存在しますか?  
名前:微分計算    日付:2018年10月25日(木) 17時34分
ありがとうございます。そういうことですか!


ということは,
R'の素イデアルは(0)と(x,y)のみですね。

( (x)や(y)はRでは,素イデアルではありませんし・・・ )
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58473.Re: 素元は存在しますか?  
名前:T    日付:2018年10月25日(木) 17時20分
それならば話は早いです。

ひとまず次元についてだけ述べますと、
{R'の素イデアル} と {Rの素イデアルで(x,y)に含まれるもの} の1対1対応があるので、
次元の定義から
 dimR'≦dimR = 1
が従います。さらに、 R' において素イデアルの列
 (0) ⊂ (x,y)
があるので、dimR'=1 となります。

(一般には、局所化によって次元が変わらないとは限りません)
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58472.Re: 素元は存在しますか?  
名前:微分計算    日付:2018年10月25日(木) 16時31分

お答えいただきありがとうございます。
素元は全てはわかっておりません。


いろいろと使って大丈夫です。
ちなみに、R'は正則局所環でない ことは理解しました。

しかし、R'は1次元局所整域 であることがよく分かりません。

Rの次元が1であることは分かりますが・・・
局所化しても、次元が変わらないのかどうか・・・
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58464.Re: 素元は存在しますか?  
名前:T    日付:2018年10月25日(木) 11時23分
R'の素イデアルは全て分かっているでしょうか。
まだでしたら、そこから調べてみると良いと思います。


ちなみに、いろいろと使っていいのであれば
・R'は1次元局所整域
・R'は正則局所環でない
ということからすぐに結論が得られます。
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58433.素元は存在しますか?  
名前:微分計算    日付:2018年10月23日(火) 03時14分
kを代数閉体とし, R=k[x,y]/(y^2 - x^3) を
素イデアルp=(x,y)で局所化した環をR'とします.

このとき、R'に素元はありそうですか?


今のところ見つかりませんが、
全く無いことを示せないので助言をいただけませんか!
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