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58685.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年11月12日(月) 11時56分
ぽんすれ氏 様

ご指摘ありがとうございます.
次回から,他のレスに移行したいと存じます.
https://todai-counseling.com/?p=461
p220208171033.tst.ne.jp (220.208.171.33)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/70.0.3538.77 Safari/537.36

58680.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年11月12日(月) 07時54分
これは質問と関係ないことですが,元々は「質問者様の証明が正しいかどうか?」という質問から始まっていますが,今では「質問者様以外の方の証明の正当性」に関する話に変わってしまっています.

質問者様としては「論理的に矛盾のない証明を得たい」という点ではここまでの話の流れは一貫しているのかもしれませんが,質問内容自体は変わってしまっています.

今後質問なさる時,元々の質問とは別のことでやり取りされる場合は新たに質問を行うようにしてください.少なくとも,回答者としてはそうなっている方が回答を付けやすいので.
softbank126063143237.bbtec.net (126.63.143.237)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/70.0.3538.77 Safari/537.36

58679.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年11月12日(月) 07時47分
横レス失礼致します.


>>Morley様
>θ→+0において考えれば十分です.
>けれども,教科書の証明では sinθ が奇関数であることを使わなければいけませんよね?
仰る通りです.


>まず,どうして奇関数だと分かるのですか?
この性質は数学Iと数学IIの内容で証明することが出来ます.証明は可能ですが,高校数学の中身を振り返ると確か証明済みの事項だった気がします.

そのため,件の記事の作成者は正弦関数が奇関数であることを暗に認めているのではないでしょうか.

それでも気になるのであれば,まずは考えるべき角度の範囲が0以上π未満であると仮定しても一般性は失われないことを言及し,その次に絵を描いて証明すればよいです.


>単位円による定義であれば,グラフに示したくなるところですが,
>解析的な観点から見ればそれは証明になりません.
どうしてでしょうか.高校数学での三角関数の定義を考えると,高校数学の範囲内では何らおかしな点は見られない気がしますが.


>負角公式の
>sin(-θ) = -sinθ
>を示すべきだと思いませんか?
既に述べておりますが,高校数学では一般角に対するこの性質は証明済みだったと思います.



>冪級数による定義で考えれば簡単に求まります.
三角関数を冪級数により定義するとなると,高校数学の内容では無理があります.無理があるので,大学数学の内容が必要となります.

件のページを読む限りでは,そこではあくまで高校数学の範囲内で議論するとなっているため,それを踏まえると冪級数の定義での議論では余計にややこしい問題が発生します.

ここで,ややこしい問題というのは,高校数学の内容以外のものを必要に応じて用意する必要があるということを意味します.


>高校範囲で出てきますが,これは定理なので証明しなければなりません.
>証明するのであれば,厳密には「解析入門T(杉浦),pp.346-348」,
>簡易的には「理工系微分積分学(荒井),pp.183-184」あたりの証明が
>必要ではないかと思います.
>そうしないと,今回のような基本的事項を証明している場合には証明になら>ないと思います.
高校数学では,この式がきちんとした証明をなしに与えられており,尚且つ公式として利用されているしそのことを暗に認められているというのが現状です.

そのことを踏まえると,高校数学の範囲内で話を行うのであれば「これはこれでよい」と個人的には思います.

そうではなくて,大学数学の範囲で考えるならば証明をきちんと行う必要があります.


>それと「s=sinθなる角度θ(0<θ<π/2)を定めれば」とありますが,
>なぜ,そのようにうまく定義できるのですか?
>well-definednessを証明しなければならないとは思いませんか?
>特に「θ=∫_0^s dy/√(1-y^2)」と定義していることの適正性をよく分かるようにしなければならないように感じませんか?
>適正性を考えれば,θ(s)の逆関数がsinθと示さなければならない気がします.
件の記事では,寧ろこの部分が本当に議論すべき点だと思います.等式

θ=∫_[0,s]√(1-y^2)dy

を示すために「扇形の弧長は,扇形の半径と扇形の中心角の積に等しい」ということが用いられていますが,問題はこの性質がどの様にして導かれたのかという点です.

もしこの性質を証明するために「三角関数の微分」が用いられていれば,回避したかった循環論法が起こってしまいます.

そういうわけで,件の記事の内容が「高校数学の範囲内」で正しいかどうかは上記の扇形の弧長に関する性質がどう導かれたかに依りますし,これは件の記事の中では自明ではなく議論すべき点なので非常に大事です.
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Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/70.0.3538.77 Safari/537.36

58670.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年11月12日(月) 00時08分
本質的な証明部分は正しいと思います.
ただ,アークサインの定積分による表示と勘違いしないように配慮しなければなりません.

>1.円の方程式をx=√1-y^2の形に変形していること(θ→+0において考えれば十分なので、半円だけで考えています)

θ→+0において考えれば十分です.
けれども,教科書の証明では sinθ が奇関数であることを使わなければいけませんよね?
まず,どうして奇関数だと分かるのですか?
単位円による定義であれば,グラフに示したくなるところですが,
解析的な観点から見ればそれは証明になりません.
負角公式の
sin(-θ) = -sinθ
を示すべきだと思いませんか?
冪級数による定義で考えれば簡単に求まります.

>2.y=f(x)の形で表される関数のx=x1からx=x2までの長さは、∫_x1^x2√1+(f'(x))^2dxで表される(微小な三角形について三平方の定理を用いてから積分して曲線の長さを求める公式です。高校範囲で出てきます。)

高校範囲で出てきますが,これは定理なので証明しなければなりません.
証明するのであれば,厳密には「解析入門T(杉浦),pp.346-348」,
簡易的には「理工系微分積分学(荒井),pp.183-184」あたりの証明が
必要ではないかと思います.
そうしないと,今回のような基本的事項を証明している場合には証明にならないと思います.

それと「s=sinθなる角度θ(0<θ<π/2)を定めれば」とありますが,
なぜ,そのようにうまく定義できるのですか?
well-definednessを証明しなければならないとは思いませんか?
特に「θ=∫_0^s dy/√(1-y^2)」と定義していることの適正性をよく分かるようにしなければならないように感じませんか?
適正性を考えれば,θ(s)の逆関数がsinθと示さなければならない気がします.
https://todai-counseling.com/?p=461
p220208171033.tst.ne.jp (220.208.171.33)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/70.0.3538.77 Safari/537.36

58669.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:たわこ    日付:2018年11月11日(日) 15時09分
Morley様

https://todai-counseling.com を運営しているたわこと申します。弊サイトをご覧いただきありがとうございます。

>∫_0^s dy/√(1-y^2)は逆関数のアークサインを定義せず勝手に利用しているように見えます.

ご指摘の部分周辺の議論で用いているのは、以下の2つだけです。

1.円の方程式をx=√1-y^2の形に変形していること(θ→+0において考えれば十分なので、半円だけで考えています)
2.y=f(x)の形で表される関数のx=x1からx=x2までの長さは、∫_x1^x2√1+(f'(x))^2dxで表される(微小な三角形について三平方の定理を用いてから積分して曲線の長さを求める公式です。高校範囲で出てきます。)

よって、arcsinは特に関係なく、高校数学の範囲でうまく議論できているはずですが、いかがでしょうか。
https://todai-counseling.com
KD182251247048.au-net.ne.jp (182.251.247.48)
Mozilla/5.0 (iPhone; CPU iPhone OS 12_0_1 like Mac OS X) AppleWebKit/605.1.15 (KHTML, like Gecko) Version/12.0 Mobile/15E148 Safari/604.1

58665.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年11月11日(日) 23時14分
他のサイトで気になった記述を見つけたのですが,私が勘違いしていなければ,論理に跳躍しているように見えるところがあります。

下記サイトの
「円弧の長さを積分によって求める」
という項に
「円弧の長さは半径と中心角の積にも一致するので、s=sinθなる角度θ(0<θ<π/2)を定めれば…と求めることができました。」
という文言があるのですが,下記サイトの
∫_0^s dy/√(1-y^2)
は逆関数のアークサインを定義せず勝手に利用しているように見えます.
この点はどのように解釈すればよいでしょうか?

下記のサイトのおかげで本質的には,高校の教科書であっても循環論法ではなさそうだということが分かりましたが,今ひとつ何かが抜け落ちていて腑に落ちません.
よって,冪級数で定義してlim[x→0]sin x/x = 1を示すのが最も近道だと今でも考えています.
https://todai-counseling.com/?p=461
p220208171033.tst.ne.jp (220.208.171.33)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/70.0.3538.77 Safari/537.36

58598.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年11月07日(水) 00時02分
下記の証明までは理解できました.
https://drive.google.com/open?id=1MVdlok4sIBMnccWWRR2UXjxXNR5XLSzY

上記のURLでの弧AB<AC+CBが言えると示される下記のページが正しいかどうかが知りたかったのです.
http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/misc/sinxlim1/node4.html

恐らく,s先生ならば反例か,もっとエレガントに証明する方法を発見されるであろうと思って意見を求めました.
p220208171033.tst.ne.jp (220.208.171.33)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/70.0.3538.77 Safari/537.36

58595.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:    日付:2018年11月03日(土) 18時45分
「特にこの部分が正しいかどうか気になるから、教えてくれ」なら回答がつく可能性は高いと思いますが
URLや長いドキュメントを渡されてそれを査読して欲しいと言われても、まず読もうと思わないので、難しいです
(よっぽど興味のある分野なら別ですが)

さらに言うと、ここで私が「問題ないです」と回答したとして、それを信用するのも間違った姿勢です
一般に、ネットの匿名一回答者の意見よりは名前を出してドキュメントを公開している大学准教授の方がはるかに信用できますし、そもそも数学の証明が正しいかどうかは結局は自分が納得するかどうかが全てです
(自分が正しいと誤解しているだけの可能性があるから、他人に意見を求めるということ自体は間違っていませんが、数学掲示板にそこまで求めるのは無理があります。それは大学や大学院に通って指導教員に指導を仰ぐレベルの話です)
119-231-53-130f1.osk2.eonet.ne.jp (119.231.53.130)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.14; rv:61.0) Gecko/20100101 Firefox/61.0

58566.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年11月02日(金) 19時20分
s先生,URLの証明に何だかの問題はありますでしょうか?
URLは竹野茂治先生が書かれたものですので,私には証明をどうのこうの言えません.
この証明が正しければ循環論法なしに証明ができていることになりますので,教えていただけないでしょうか.
http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/misc/sinxlim1/sinxlim1.html
p220208171033.tst.ne.jp (220.208.171.33)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/70.0.3538.77 Safari/537.36

58549.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年11月02日(金) 01時45分
s先生,返信をありがとうございます.

>Arcsinの逆関数としてsinを定義することも,面倒な準備は必要だけれど無理難題ではないことを強調しておきます.

私の能力ではできそうもないので,杉浦光夫先生の流儀に従うことにします.
証明をしていないので予想でしかありませんが,円弧の長さから
lim[x→0]sin(x)/x = 1
を導いていたとしても方法によっては循環論法でない気がします.
もし,s先生ならどのようにして循環論法でないことを示されますでしょうか.

曲線の弧長を折れ線近似の上限として定義すれば,URLのように示せますので,問題なさそうではありますが,s先生の解釈はいかがでしょうか?
URLの資料は手間の関係上,手書きにさせていただきました.
https://drive.google.com/open?id=1MVdlok4sIBMnccWWRR2UXjxXNR5XLSzY

※ちなみに和久井先生の「大学数学ベーシックトレーニング」も初学者にとって良い本だと思います.
p220208171033.tst.ne.jp (220.208.171.33)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/70.0.3538.77 Safari/537.36

58547.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:    日付:2018年10月30日(火) 20時33分
まず

> やはり「杉浦光夫著,解析入門T,東京大学出版会」は素晴らしい本なんだと思います.論理的な見通しの良さを考えて作られていると改めて感じました.

これに同意します.「解析入門(杉浦)」が最も厳密かつ美しく書かれた大学1年向けの微積分学の入門書だと思います


その上で,Arcsinの逆関数としてsinを定義することも,面倒な準備は必要だけれど無理難題ではないことを強調しておきます.
Morleyさんは惜しいところまでは行っていて
> f'(x) = 1/√(1-x^2), -1<x<1
> を満たす.特に,fは(-1,1)を定義域とする狭義単調増加連続関数であり,その値域は(-π/2,π/2)である.ゆえに,fは逆関数をもつ.
の論理のギャップを埋めたければ例えば
https://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/kiyono/12_kuwa-03.pdf
1ページ目の問題3の定理をはじめに与えておけばよかったのです.

このpdfファイルにあるとおり,「狭義単調増加な連続関数は逆関数を持つ」というのは自明ではない(問題として考えないといけないレベル)ので,そこが論理の飛びだったわけです

ちなみに準備すべきことをまとめると
* Riemann積分の定義
* その性質(連続関数は可積分)
* √の定義とその性質(連続性)
* 逆関数の存在条件
* 逆関数の微分公式(逆関数定理)
あたりをきっちりと抑えておけばいいハズです

ps.
定理1と命題に関してはそれで問題ないと思います.
p9d930e4b.hyognt01.ap.so-net.ne.jp (157.147.14.75)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.14; rv:61.0) Gecko/20100101 Firefox/61.0

58542.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年10月30日(火) 17時21分
>「逆関数」という言葉を用いた定義がいかに大変か(証明すべきことが多いか)分かってきましたか?

s先生,度々ありがとうございます.
嫌というほど,分かりました.
「黒田成俊著,微分積分,共立出版」や「斎藤毅著,微積分,東京大学出版会」では,Arcsinの逆関数としてsinを定義しており,これを参考にlim[α→0]s(α)/α=1を証明できないものかと考えてきました.やはり,私の数学の能力では太刀打ちできそうもないので,大人しく冪級数で定義した三角関数を使って,lim[α→0]sinα/α=1を証明します。

以前に仮OKをもらった証明を下記に示します.しかし,s先生は完全な論理構成を求めておられると思うので,おかしな箇所があったらご教示ください.いつも建設的な意見をありがとうございます.

やはり「杉浦光夫著,解析入門T,東京大学出版会」は素晴らしい本なんだと思います.論理的な見通しの良さを考えて作られていると改めて感じました.

【定理1】
数列{a_n},a_n>0が0に収束する単調減少数列ならば,交代級数は収束する.
その和をs,部分和を
s_n=a_1-a_2+a_3-a_4+…+(-1)^{n+1}・a_n
とすれば
s_(2n-1)>s>s_2n.

※定理1の証明は「小平邦彦著,解析入門T,p.45」にあります.

【命題】
任意のθ∈Cに対し
sinθ = 納n=0→∞] {(-1)^n/(2n+1)!}θ^(2n+1)
と定義する.
そのとき,lim[θ→0]sinθ/θ=1.

pf.
sinθ/θ = 納n=0→∞] {(-1)^n/(2n+1)!}θ^(2n).
0<|θ|<1のとき、右辺の交代級数の項の絶対値の成す
数列 {θ^{2n}/(2n+1)!} は単調減少で0に収束する.
定理1より
1 - (θ^2/3!) < sinθ/θ < 1, 0<|θ|<1.
よって
lim[θ→0]sinθ/θ=1. ■
p220208171033.tst.ne.jp (220.208.171.33)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/70.0.3538.77 Safari/537.36

58540.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:    日付:2018年10月30日(火) 13時21分
> f'(x) = 1/√(1-x^2), -1<x<1
> を満たす.特に,fは(-1,1)を定義域とする狭義単調増加連続関数であり,その値域は(-π/2,π/2)である.ゆえに,fは逆関数をもつ.

まだ論理にギャップがあります
値域が(-π/2, π/2)であるのは何故?
「ゆえに」の前後で論理に飛びがあります.

また定理1が突然出てきて,かつどこにも使われていません.(「定理1より」という文がどこにもない)
さらに定理1中で登場する「一変数関数」という言葉に対してですが,定義域は?値域は実数?
またfという文字も定理1中で突然登場しますが,定義1で定義したfですか?
それとももっと一般のfですか?

証明でURLを参考にと書かれてもどうしようもないです.具体的に何ページ目のどの定理を使っているのか.もちろん仮定を満たすことは全て確認したのか.

ちなみにlim(x->0) sin(x)/x=1のような基本的な事実の証明で,参考文献を多く出しても自分の首を締めるだけですよ.
その全てで循環論法になっていないのかをチェックする必要がでてくるので.

「逆関数」という言葉を用いた定義がいかに大変か(証明すべきことが多いか)分かってきましたか?
nat2.rcnp.osaka-u.ac.jp (133.1.86.32)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.14; rv:61.0) Gecko/20100101 Firefox/61.0

58539.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年10月30日(火) 13時05分
s先生,自分なりに考えてみました.

【定義1】
関数f:(-1,1)-->Rを
f(x) = ∫_0^x dt/√(1-t^2)
で定義する.(ただし積分はリーマン積分)

(well-definednessの証明)
被積分関数が連続であるからRiemann積分が可能.

【定義2】
関数s:(-π/2,π/2)→Rをfの逆関数として定義する.

(well-definednessの証明)
fは(-1,1)で連続,(-1,1)で微分可能で
f'(x) = 1/√(1-x^2), -1<x<1
を満たす.特に,fは(-1,1)を定義域とする狭義単調増加連続関数であり,その値域は(-π/2,π/2)である.ゆえに,fは逆関数をもつ.

【定理1】
一変数関数が可微分ならば、その逆函数 f^(−1) も f'(x)≠0 である限り可微分で、その導函数は
f^(−1)'(f(x))=1/f'(x)
である.

pf.
URLを参考にしてください.■


【命題1】
lim[α→0]s(α)/α=1.

pf.
f'(x) = 1/√(1-x^2).
逆関数の微分公式より
s'(f(x)) = 1/f'(x) = √(1-x^2)= √(1-s(f(x))^2).
s'(f(x)) = lim[α→0](s(f(x)+α)-s(f(x)))/α.
f=0とし, 定義から s(0)=0 であることに注意すると
lim[α→0](s(0+α)-s(0))/α
= lim[α→0]s(α)/α
= √(1-(s(0))^2)
= 1. ■
http://shark.lib.kagawa-u.ac.jp/kuir/file/27861/20170818193208/AN00064452_36_187_206.pdf
p220208171033.tst.ne.jp (220.208.171.33)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/70.0.3538.77 Safari/537.36

58538.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:    日付:2018年10月30日(火) 11時35分
> 【定義1】
> 関数f:(-1,1)-->Rを
> f(x) = ∫_0^x dt/√(1-t^2)
> で定義する.(ただし積分はリーマン積分)
>
> (well-definednessの証明)
> 被積分関数が連続であるからRiemann積分が可能.

ここまではOKです

> 被積分関数が正だからfは狭義単調増加.
余計な一文は書かない.この文はwell-defined性と関係ありますか?

> 【定義2】
> 関数s:(π/2,π/2)→Rをfの逆関数として定義する.
書き方は数学的に意味が通ります

> 定義より,fは連続.
> f'(x) = 1/√(1-x^2) > 0.
上の文章は正しいですが,何故ここに書いているのか謎です.
下の文章と論理的に繋がっていません.
「1+1=2. f'(x)= ...」と書いているのと同じです.それ(連続性)はそうだけどそれがどうしたの?という文章になっています.
fは微分可能の書き間違い??

> したがって,逆関数sは1価連続で狭義単調増加.
「したがって」と書かれていますが前後で論理が飛んでいます
それに関数が1価であることはその定義より当たり前なので書く必要はないです.それより関数になっていることを示さなければいけません.(ちなみに「多価関数は関数ではない」ということは理解されてますか?)
もし逆関数定理を使っているなら,そのことを明記すべきです.
もちろん単に「逆関数定理より」という文字列を追加しろという単純な話ではありません.
使っている逆関数定理の主張も書いてください
ちなみに以下
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86
を使うのだとしたら,単に微分係数が0でない点の近傍でしか逆関数は定義されないことに注意してください.
仮に全点で微分係数が0でないと言ったとしても,各点の近傍で定義される逆関数をつなげると,(-π/2,π/2)に拡張できることはまた別に示さないといけないことにも注意してください
面倒なら逆関数sの定義域を(-π/2, π/2)ではなくもっと縮めるのも手だと思います.
それかwikipediaに書かれている逆関数定理とは異なる逆関数定理を使うかですね.


> 【命題1】
> lim[α→0]s(α)/α=1.
数学的な書き方になっています

ただし証明中に今まで指摘した事項で直っていない箇所があります.もう一度注意深く確認してください
sp183-74-192-75.msb.spmode.ne.jp (183.74.192.75)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.14; rv:61.0) Gecko/20100101 Firefox/61.0

58528.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年10月29日(月) 22時23分
s先生,了解いたしました.

【定義1】
関数f:(-1,1)-->Rを
f(x) = ∫_0^x dt/√(1-t^2)
で定義する.(ただし積分はリーマン積分)

(well-definednessの証明)
被積分関数が連続であるからRiemann積分が可能.
被積分関数が正だからfは狭義単調増加.

【定義2】
関数s:(π/2,π/2)→Rをfの逆関数として定義する.

(well-definednessの証明)
定義より,fは連続.
f'(x) = 1/√(1-x^2) > 0.
したがって,逆関数sは1価連続で狭義単調増加.

【命題1】
lim[α→0]s(α)/α=1.

pf.
f'(x) = 1/√(1-x^2).
逆関数の微分公式より
s'(f(x)) = 1/f'(x) = √(1-x^2)= √(1-s(f(x))^2).
s'(f(x)) = lim[α→0](s(θ+α)-s(θ))/α.
f=0とし, 定義から s(0)=0 であることに注意すると
lim[α→0](s(0+α)-s(0))/α
= lim[α→0]s(α)/α
= √(1-(s(0))^2)
= 1. ■
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58526.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:    日付:2018年10月29日(月) 22時01分
関数fと,関数fで実数xを写した先の実数f(x)を適宜区別して使ってください

> 関数f:(-1,1)-->Rを
> f = ∫_0^x dt/√(1-t^2)
> で定義する.(ただし積分はリーマン積分)

はNG

> 関数f:(-1,1)-->Rを
> f(x) = ∫_0^x dt/√(1-t^2)
> で定義する.(ただし積分はリーマン積分)

ならOKです.何故かわかりますか?

> 定義より,fは連続.
という書き方はOK

> f' = 1/√(1-x^2) > 0.
はNG

> したがって,逆関数x = s(f)は1価連続で狭義単調増加.
もNG

それとは別に,xという表記は関数を表してるんですか?
実数を表してるんですか?
何度も言っていますが,どちらか片方にしてください
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58524.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年10月29日(月) 19時27分
s先生,ありがとうございます.

>そうですが,混乱しているのなら「独立変数」という言葉も使わないほうが無難です.
>そもそも「独立変数」の定義はかけますか?
「関数y=f(x)において,xを独立変数という.」というぐらいの説明しかできません.

>慣れていないのならまずはライプニッツ記法を使わずに導関数を表現するほうがはやいです

>fの導関数はf'と書きましょう.
>sの導関数はs'と書きましょう.
分かりました.
s先生の言われる通り,ラグランジュ記法を用いることにします.

【定義1】
関数f:(-1,1)-->Rを
f = ∫_0^x dt/√(1-t^2)
で定義する.(ただし積分はリーマン積分)

(well-definednessの証明)
被積分関数が連続であるからRiemann積分が可能.
被積分関数が正だからfは狭義単調増加.

【定義2】
関数s:(π/2,π/2)→Rをfの逆関数として定義する.

(well-definednessの証明)
定義より,fは連続.
f' = 1/√(1-x^2) > 0.
したがって,逆関数x = s(f)は1価連続で狭義単調増加.

【命題1】
lim[α→0]s(α)/α=1.

pf.
f' = 1/√(1-x^2).
逆関数の微分公式より
s' = 1/f' = √(1-x^2)= √(1-s(f)^2).
s' = lim[α→0](s(θ+α)-s(θ))/α.
f=0とし, 定義から s(0)=0 であることに注意すると
lim[α→0](s(0+α)-s(0))/α
= lim[α→0]s(α)/α
= √(1-(s(0))^2)
= 1. ■
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58523.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:    日付:2018年10月29日(月) 18時51分
> xが独立変数なのか関数なのかをはっきりさせねばならぬという意味でよろしいですか?

そうですが,混乱しているのなら「独立変数」という言葉も使わないほうが無難です.
そもそも「独立変数」の定義はかけますか?


ずっと言っているのは
df/dxは関数fの導関数を表す表記として何の不定性もなく定義されますが,
dx/dfという表記はそのままでは意味不明だということです.
言い換えれば,この記法は常に分子に関数が来るということです

慣れていないのならまずはライプニッツ記法を使わずに導関数を表現するほうがはやいです

fの導関数はf'と書きましょう.
sの導関数はs'と書きましょう.

単なる導関数の記法の問題なのでライプニッツ,ラグランジュのどちらを使っても同じことが書けるはずですね?
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58522.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年10月29日(月) 17時51分
xが独立変数なのか関数なのかをはっきりさせねばならぬという意味でよろしいですか?

>> 定義より,θ=f(x)は連続.
>このxは関数ですか?

独立変数のxです.

>> xをθで微分することをdx/dθと書く.
>このxは関数ですか?

逆関数のxです。

【定理1】
f(x)=y ⇔ f^(-1)(y)=x,
f^(-1)(f(x))=x, f(f^(-1)(y))=y.

pf.
逆関数の定義より自明.■

ここまでは自力で理解できましたが,後はどう定義すればいいか,さっぱりです.
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58519.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:    日付:2018年10月29日(月) 09時28分
> 恐らく,逆関数の微分公式を証明せよという意味で定義を提示せよと言われているのでしょう

違います.単にはじめて使う表記は定義してくださいといっているだけです

> 定義より,θ=f(x)は連続.
このxは関数ですか?
> xをθで微分することをdx/dθと書く.
このxは関数ですか?

もし2つの答えが違うのなら何故異なるものを同じ文字で置いているのですか?

関数fと逆関数g(s?)という文字以外に余計な文字を定義する必要はないです
fとgのみで議論してください

少なくともこの段階で,θやs (逆関数をsと書いたのならg)などの無駄な文字は不要.
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58512.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年10月29日(月) 02時07分
定義より,θ=f(x)は連続.
dθ/dx = 1/√(1-x^2) > 0.
したがって,逆関数x = s(θ)は1価連続で狭義単調増加.

【定義】
xをθで微分することをdx/dθと書く.
dx/dθ=1/(dθ/dx).

(well-definednessの証明)
微分に対するライプニッツの記法による.
参考URLによる.

恐らく,逆関数の微分公式を証明せよという意味で定義を提示せよと言われているのでしょうから,参考資料としてURLを添付します。
参考URLの微分係数を導関数に置き換えればQ.E.D.
http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/Differentiation/Differential1VarFnctn/ThrmForCalculatingDerivativePrf7InvrsFnctn.htm
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58511.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:s    日付:2018年10月28日(日) 19時00分
> このようなxが存在することはf((-1,1))の定義から明らか

明らかでしょうか?

dθ/dx = 1/√(1-x^2).
逆関数の微分公式より
dx/dθ

fをシータに置き換えればいいという問題ではなく、はじめて使う表記には定義をつけてくださいという意味です
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58508.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年10月28日(日) 18時45分
s先生,ありがとうございます.
ご指摘の点を踏まえた上で私なりに考えた文章を記述します.

【定義1】
関数f:(-1,1)-->Rを
f(x) = ∫_0^x dt/√(1-t^2)
で定義する.(ただし積分はリーマン積分)

(well-definednessの証明)
被積分関数が連続であるからRiemann積分が可能.
被積分関数が正だからf(x)は狭義単調増加.

【定義2】
関数s:(π/2,π/2)→Rをfの逆関数として定義する.

(well-definednessの証明)
f((-1,1))の各元yに対して、y=f(x)となるx∈(-1,1)が唯一つ存在する.
このようなxが存在することはf((-1,1))の定義から明らかで,xの一意性はf(x)が狭義単調増加であることから導かれる.

【命題1】
lim[α→0]g(α)/α=1.

pf.
θ=f(x)とする.
dθ/dx = 1/√(1-x^2).
逆関数の微分公式より
dx/dθ = 1/(dθ/dx) = √(1-x^2)= √(1-s(θ)^2).
dx/dθ = lim[α→0](s(θ+α)-s(θ))/α.
θ=0とし, 定義から s(0)=0 であることに注意すると
lim[α→0](s(0+α)-s(0))/α
= lim[α→0]s(α)/α
= √(1-(s(0))^2)
= 1. ■
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58507.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:    日付:2018年10月28日(日) 17時24分
数学の言葉になっていない箇所がいくつかあります

> 【補題1】
> 関数fをf(x) =∫[0,x] du/√(1-u^2) (-1≦x≦1)で定義する.
> なお,上記の積分は広義リーマン積分または,ルベーグ積分である.
> 関数g:[-π/2,π/2]→Rをf(x)の逆関数として定義する.
> このとき,lim[ξ→0]g(ξ)/ξ=1.

【定義1】
関数f:(-1,1)-->Rを
f(x) = ∫_0^x dt/√(1-t^2)
で定義する.(ただし積分はリーマン積分)

※ (-1≦x≦1)で定義するメリットはありますか?単にwell-definednessの証明が面倒になるだけに思えます.もちろん定義可能なのでやりたければやればいいのですが,証明すべきことが増えるという意味です.
あとルベーグ積分を理解していないのなら余計なことは書かない.
書いた瞬間にどちらの積分でも同じ定義になっていることを示す必要が出てきます

(well-definednessの証明)
全てのxでRiemann積分が可能であり実数値を持つことを示すだけ.略

【定義2】
関数g:(π/2,π/2)→Rをfの逆関数として定義する.

※ 補題という形でf,gを定義した上でlim g(t)/tに関する主張をしておいて,その主張の証明中でgのwell-definednessの議論をするのは意味不明

(well-definednessの証明)
逆関数定理を使いたいのなら,その条件・主張を述べて示す.(逆関数定理は様々なバリエーションがあり,単に「逆関数定理より」では一意に意味が決まらないことがあります)
またdx/df(x)という表記は意味不明.使いたいのなら定義してから.


あまり一つの主張(補題)に新しい定義を詰め込みすぎると自分が混乱するだけです.
適宜分けてください.
また当然ですが,定義にはそのwell-definednessの証明も必要です.(それが必要でないほど自明な定義を除いて)
さらに,何か定理を使うときはその定理の主張を書くのが無難です.もちろん,これもよっぽど当たり前な定理を除いてという注釈が入りますが,今はそもそも基本的な事実を証明しようとしているのですから全て書くべき.
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58481.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年10月28日(日) 14時54分
今まで議論したことと補足命題をまとめたのですが,これで正しいでしょうか?

【補題1】
関数fをf(x) =∫[0,x] du/√(1-u^2) (-1≦x≦1)で定義する.
なお,上記の積分は広義リーマン積分または,ルベーグ積分である.
関数g:[-π/2,π/2]→Rをf(x)の逆関数として定義する.
このとき,lim[ξ→0]g(ξ)/ξ=1.

pf.
df(x)/dx = 1/√(1-x^2).
df(x)/dx > 0 より,f(x) の逆関数が存在する.
逆関数定理より
dx/df(x) = 1/(df(x)/dx) = √(1-x^2)= √(1-g(f(x))^2).
dx/df(x) = lim[ξ→0](g(f(x)+ξ)-g(f(x)))/ξ.
f(x)=0とし, 定義から g(0)=0 であることに注意すると
lim[ξ→0](g(0+ξ)-g(0))/ξ = lim[ξ→0]g(ξ)/ξ = √(1-(g(0))^2) = 1. ■

【補題2】
f(x)=θ, g(θ)=s(θ),s'(θ)=c(θ)とすると
s(θ) = 納n=0→∞] {(-1)^n/(2n+1)!}θ^(2n+1).
c(θ) = 納n=0→∞] {(-1)^n/(2n)!}θ^(2n).

pf.
θ =∫[0,x] du/√(1-u^2) (-1≦x≦1) …(1)
dθ/dx = 1/√(1-x^2).
したがって
c(θ)=dx/dθ = √(1-x^2).
c'(θ)=d(√(1-x^2))/dθ=d(√(1-x^2))/dx・dx/dθ=-x(√(1-x^2))/(√(1-x^2))=-x=-s(θ).
ゆえに
s''(θ)=c'(θ)=-s(θ).
c''(θ)=s'(θ)=-c(θ).
これから
s^{2n}(θ)=(-1)^n・s(θ),c^{2n}(θ)=(-1)^n・c(θ). …(2)
s^{2n+1}(θ)=(-1)^n・c(θ),c^{2n+1}(θ)=(-1)^(n+1)・s(θ). …(3)
(1)において x=0 とすれば, θ=0. したがって
s(0)=0,c(0)=1.
(2)(3)を用いて
s(θ)
= θ - (θ^3/3!) + (θ^5/5!) - (θ^7/7!) + …
= 納n=0→∞] {(-1)^n/(2n+1)!}θ^(2n+1),
c(θ)
= 1 - (θ^2/2!) + (θ^4/4!) - (θ^6/6!) + …
= 納n=0→∞] {(-1)^n/(2n)!}θ^(2n).
ダランベールの収束判定法より, s(θ), c(θ)の収束半径は∞.■

【定義】
任意のθ∈Cに対し
sinθ = s(θ) = 納n=0→∞] {(-1)^n/(2n+1)!}θ^(2n+1),
cosθ = c(θ) = 納n=0→∞] {(-1)^n/(2n)!}θ^(2n)
と書く.

【命題1】
lim[ξ→0]sin(ξ)/ξ=1.

pf.
補題1,補題2,定義より自明.■

【命題2】
sin(θ+α) = sinθcosα + cosθsinα, …(4)
cos(θ+α) = cosθcosα - sinθsinα. …(5)

pf.
θ+α=tとする.
sin t = sinθcos(t-θ) + cosθsin(t-θ). …(6)
tを固定しθ+α=tである(θ,α)のみを考えることとし
θを独立変数と見る.
(6)はθ=tで成り立ち,右辺をθで微分すれば0である.
よって(4)がθ+α=tを満たす(θ,α)に対しては成立する.
t∈Cは任意だから(4)は成り立つ.
(4)をθで微分すれば(5)が求まる.■

【命題3】
sin(-θ)=-sinθ,
cos(-θ)=cosθ.

pf.
sin(-θ) = 納n=0→∞] {(-1)^n/(2n+1)!}(-1)^(2n+1)*θ^(2n+1) = -sinθ,
cos(-θ) = 納n=0→∞] {(-1)^n/(2n)!}(-1)^(2n)*θ^(2n) = cosθ.■

【命題4】
sin(θ-α) = sinθcosα - cosθsinα,
cos(θ-α) = cosθcosα + sinθsinα.

pf.
命題2,命題3より
sin(θ-α)
= sinθcos(-α) + cosθsin(-α)
= sinθcosα - cosθsinα,
cos(θ-α)
= cosθcos(-α) - sinθsin(-α)
= cosθcosα + sinθsinα.■

【命題5】
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1

pf.
補題2と定義より
((cosθ)^2+(sinθ)^2)'
= 2cosθcos'θ+2sinθsin'θ
= −2cosθsinθ + 2sinθcosθ
= 0
となるから,(sinθ)^2+(cosθ)^2は定数関数.
(sin0)^2+(cos0)^2=1.■
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58428.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:s    日付:2018年10月23日(火) 00時32分
あー,そうですね.それでいいと思います.
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58423.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年10月22日(月) 19時04分
数列{a_n},a_n>0が0に収束する単調減少数列ならば,交代級数は収束する.
その和をs,部分和を
s_n=a_1-a_2+a_3-a_4+…+(-1)^{n+1}・a_n
とすれば
s_(2n-1)>s>s_2n.

これが必要ですね.
※証明は「小平邦彦著,解析入門T,p.45」にあります.
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58420.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:s    日付:2018年10月22日(月) 17時30分
> 数列 {θ^{2n}/(2n+1)!} は単調減少で0に収束する.
> ゆえに
> 1 - (θ^2/3!) < sinθ/θ < 1, 0<|θ|<1.

の「ゆえに」の前後で論理が飛んでるように見えます
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58419.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年10月22日(月) 18時32分
lim[θ→0]sinθ/θ=1 であるから,θ = 0 は除去可能な特異点であると考えるならば,循環論法ですね.

それならばこう考えては駄目でしょうか?

sinθ/θ = 納n=0→∞] {(-1)^n/(2n+1)!}θ^(2n).
0<|θ|<1のとき、右辺の交代級数の項の絶対値の成す
数列 {θ^{2n}/(2n+1)!} は単調減少で0に収束する.
ゆえに
1 - (θ^2/3!) < sinθ/θ < 1, 0<|θ|<1.
よって
lim[θ→0]sinθ/θ=1.

※小平邦彦著,解析入門Tを参考にしました.
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58418.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:s    日付:2018年10月22日(月) 13時48分
> 冪級数は収束円内で正則な関数であることを既知とする.

循環論法になります.
psに書いた通り極限交換操作を含んでない証明は全て間違いだと思ってください

どこで極限交換をしてますか?
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58417.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年10月22日(月) 11時28分
定義を忘れてました.

関数
f(θ)
:= sinθ/θ(θ≠0)
:= 1(θ=0)
と定義する.
冪級数は収束円内で正則な関数であることを既知とする.
sinθ = 納n=0→∞] {(-1)^n/(2n+1)!}θ^(2n+1)
の収束半径は∞.
f(θ) = 納n=0→∞] {(-1)^n/(2n+1)!}θ^(2n)
は収束して,θ≠0のときf(θ)であり, θ=0 のときはf(0)=1に一致する。
よって,f(θ) は全てのθに対して収束する級数で表される.
したがって,f(θ)は整関数.
f(θ)は整関数であるからθ=0で連続.
よってlim[θ→0]sinθ/θ=1.
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58416.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:s    日付:2018年10月22日(月) 01時19分
とりあえず58412のみ読みました

> sinθ/θ = 納n=0→∞] {(-1)^n/(2n+1)!}θ^(2n)

この式はθ≠0のときのみ意味がある式ですね.
(0で割ることはできないのでθ=0なら左辺に意味がなくなります)

なので
> は収束して,θ≠0のときsinθ/θであり, θ=0 のときは1に一致する。
は意味が通じません.
ちなみに「θ≠0のときsinθ/θであり」の主語はなんですか?

> したがって,sinθ/θは整関数.
この文章もその前後の文と,論理的に意味がつながっていません.

> sinθ/θは整関数であるからθ=0で連続.
sinθ/θはθ=0で定義されないので連続ではありません
(もちろんf(θ)=sinθ/θ (if θ≠0), 1 (θ=1)という関数fなら話は別ですが)

ちなみにlim[x→a]f(x)はf(a)の値に無関係に決まることは理解されていますか?
f(a)が定義されている必要すら無いです


ps.
本質的に,lim(θ→0)と無限和Σの極限の交換をしなければ証明できない事柄なので,極限交換操作を含んでない証明は全て間違いだと思ってください
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58412.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年10月21日(日) 23時28分
最初から冪級数で定義したときの考え方は下記で正しいでしょうか?

sinθ = 納n=0→∞] {(-1)^n/(2n+1)!}θ^(2n+1)
の収束半径は∞.
sinθ/θ = 納n=0→∞] {(-1)^n/(2n+1)!}θ^(2n)
は収束して,θ≠0のときsinθ/θであり, θ=0 のときは1に一致する。
よって,sinθ/θは全てのθに対して収束する級数で表される.
したがって,sinθ/θは整関数.
sinθ/θは整関数であるからθ=0で連続.
よってlim[θ→0]sinθ/θ=1.
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58392.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年10月21日(日) 18時34分
lim[ξ→0]sin(ξ)/ξ=1の証明をしたいのみなので,三角関数の基本的な公式までは証明しないことにします.

一般に
g(θ) = sinθ = θ - (θ^3/3!) + (θ^5/5!) - (θ^7/7!) + …,
ψ(θ) = cosθ = 1 - (θ^2/2!) + (θ^4/4!) - (θ^6/6!) + …
と示される.

それ故 lim[ξ→0]sin(ξ)/ξ=1. …(1)

曲線の長さ s の定義は
s=∫[x0, x] √(1-y'^2)dx.
よって単位円 x^2+y^2=1 (x>0) の弧長は
∫[0,x] √(1-y'^2)dx.
ただし
y=√(1-x^2).
したがって
y'=-x/(√(1-x^2)),
1+(y')^2=1/(1-x^2).
ゆえに
θ =∫[0,x] dx/√(1-x^2)
は円弧の長さである.

結果的には円弧の長さから式(1)を導いたことになります.
高校生でも分かる式について難しく考えすぎといえばそうなります.
ただし,円弧の長さから上記の式を導けないわけではないことが分かりました.
ということは,高校の教科書で円弧の長さから上記の式を導いていたとしても方法によっては循環論法でないことが分かります.

とはいっても,私の知っている数学は高校の数V初級レベルなので,大学数学のレベルは皆目見当が付きません.

蛇足ですが,URLのような解き方もあるようです.
http://cubicsphere.web.fc2.com/pi.pdf
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58391.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:s    日付:2018年10月21日(日) 00時33分
もちろん三角関数の基本的な公式(加法定理や周期関数性)を使いたければそれらを示す必要があります

弧長うんぬんの議論をしたければ「弧長」を定義した上で計算する必要があります
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58390.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年10月21日(日) 00時16分
ということは,あとはθの意味,加法定理と周期性の証明をすればよろしいでしょうか?
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58389.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:s    日付:2018年10月20日(土) 23時52分
いいえ,そのまま16:47のレスのやりかたですすめればOKだと思います
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58388.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年10月20日(土) 23時45分
恐らく反例を用意されていると思います。
今の所、循環論法に陥っている箇所はありますか?
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58387.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:s    日付:2018年10月20日(土) 23時20分
まさに16:47に書いた「微分方程式によるsin定義がgと一致する」ことを示すプロセスですね
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58385.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年10月21日(日) 01時41分
※以前のコメントから lim[ξ→0]g(ξ)/ξ = 1 は証明されている.

θ =∫[0,x] dx/√(1-x^2) (-1≦x≦1)…(1)
とする.
逆関数gを
x=g(θ) (-π/2≦θ≦π/2)
とする.
dθ/dx = 1/√(1-x^2).
したがって
g'(θ)=dx/dθ = √(1-x^2).
便宜上
√(1-x^2)=ψ(θ)
とすると
ψ'(θ)=d(√(1-x^2))/dθ=d(√(1-x^2))/dx・dx/dθ=-x(√(1-x^2))/(√(1-x^2))=-x=-g(θ).
ゆえに
g''(θ)=ψ'(θ)=-g(θ).
ψ''(θ)=g'(θ)=-ψ(θ).
これから
g^{2n}(θ)=(-1)^n・g(θ),ψ^{2n}(θ)=(-1)^n・ψ(θ). …(2)
g^{2n+1}(θ)=(-1)^n・ψ(θ),ψ^{2n+1}(θ)=(-1)^(n+1)・g(θ). …(3)
(1)においてx=0とすれば,θ=0.したがって
g(0)=0,ψ(0)=1.
(2)(3)を用いて
g(θ) = θ - (θ^3/3!) + (θ^5/5!) - (θ^7/7!) + …,
ψ(θ) = 1 - (θ^2/2!) + (θ^4/4!) - (θ^6/6!) + ….
ダランベールの収束判定法より,g(θ),ψ(θ)の収束半径は∞.

ここまで来て気づきました,正則性が必要なわけですね.
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58382.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:s    日付:2018年10月20日(土) 20時03分
できると思うのならトライしてみてください
その際,どこに本質があるのか考えながらやるのがいいです(公式ばかり使用していると特にそれが見えなくなりがちですが)
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58371.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:s    日付:2018年10月20日(土) 16時47分
逆関数で定義したg (後のsin)の,という意味なら
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0#%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E5%AE%9A%E7%BE%A9
の微分方程式によるsinの定義を採用して,gと一致することを(逆関数定理・微分方程式の解の一意性などの大掛かりな定理を仮定を一つずつ確認しながらチェックして)確認し,かつ
冪級数によるsinの定義と微分方程式によるsinの定義が一致すること
を確認するというプロセスを踏むことになると思います.
(この場合もちろん本質的に冪級数によるsinの定義の完全な劣化版ですが.)
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58370.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年10月20日(土) 16時30分
相談ですがsinθがマクローリン展開可能だとどうやって証明しましょう?

URLの参考文献では
「【定義】点 a を含む区間で C^∞級な関数 f が a を含む開区間 I でテイラー展開可能であるとき,f は a で実解析的とよばれる.とくに f が定義域の各点で実解析的であるとき f は単に実解析的,または解析関数という.実解析的であることを“C^ω級”ということがある.」
としているのですが,どのように解釈しましょう?
http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2013/calc2/lecture-4.pdf
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58369.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:s    日付:2018年10月20日(土) 16時03分
> sinθ= θ-θ^3/3!+θ^5/5!-θ^7/7!+…
> としても,ダランベールの収束判定法が使えないのですか?

それはまさに冪級数によるsinの定義です..今は逆関数で定義してるんですよね

> ルベーグ積分でないといけませんね。

well-definedならどちらの積分を使ってもかまいませんが,どういう時に積分可能かをきちんと把握しておく必要があります
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58368.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年10月20日(土) 15時57分
>ここでチェックすべきは逆関数で定義したgが「無限階微分可能」より強いC^ω級であることです.そんなに単純な話ではありません

おお,確かに.

>そもそもダランベールの収束判定法が使える形ではないです

sinθ= θ-θ^3/3!+θ^5/5!-θ^7/7!+…
としても,ダランベールの収束判定法が使えないのですか?

>本当に-1≦x≦1で連続ですか?定義域を-1<x<1にしておきますか?
ルベーグ積分でないといけませんね。
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58366.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:s    日付:2018年10月20日(土) 15時33分
> テイラーの定理を考えれば,マクローリン展開が可能だと考えられます.

おそらくテイラーの定理を誤解されています.
ちなみに無限階微分可能でも冪級数展開可能とは限らないことは理解されていますか?
ここでチェックすべきは逆関数で定義したgが「無限階微分可能」より強いC^ω級であることです.
そんなに単純な話ではありません

> ダランベールの収束判定法によれば,収束半径は∞です.
そもそもダランベールの収束判定法が使える形ではないです

> 連続な関数ですので,リーマン積分可能です。
本当に-1≦x≦1で連続ですか?
定義域を-1<x<1にしておきますか?
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58365.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年10月20日(土) 15時23分
>* そもそも冪級数展開可能なのか?
テイラーの定理を考えれば,マクローリン展開が可能だと考えられます.

>* 可能だとして収束半径は?
ダランベールの収束判定法によれば,収束半径は∞です.

>* ∫[0,x] dt/√(1-t^2) (-1≦x≦1)と書いているが,Riemannの意味か?それともLebesgue積分の意味か?どちらかだとして,可積分性は大丈夫か?
リーマン積分です.
連続な関数ですので,リーマン積分可能です。

>* 積分が収束するとして,微積分学の基本定理を使うのなら定理の仮定は全て満たしているか?
満たしています.
というか仮定を満足するように定義したので満たさないとおかしいです.

>正直に言って(論理的はもちろん好きに定義してかまいませんが,)あまり優秀な定義とは言えないです.
私もそう思います。
整級数で三角関数を定義したほうが,どれほど見通しが良く,楽なことか.
ただ,「循環論法だから円弧の長さを使うな説」はほんとうにそうなのかな?と思ったまでです.
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58363.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:s    日付:2018年10月20日(土) 14時30分
数学的には
> 冪級数展開すれば、g(θ)がsinθの無限級数による定義と等しいことが分かる
の部分が本質的です

ちなみに単純に「冪級数展開すれば」と書いていますが
* そもそも冪級数展開可能なのか?
* 可能だとして収束半径は?
など,チェックすることは多いです.(当然,これらのチェックを循環論法にならないように行う必要がある)


さらに言えば積分による関数の定義も,well-definednessのチェックが(おそらくMorleyさんが考えられているより)大変です
* ∫[0,x] dt/√(1-t^2) (-1≦x≦1)と書いているが,Riemannの意味か?それともLebesgue積分の意味か?どちらかだとして,可積分性は大丈夫か?
* 積分が収束するとして,微積分学の基本定理を使うのなら定理の仮定は全て満たしているか?


あと細かい問題ではありますが,今回の定義だとg (もしくはsin)の定義域が [-π/2, π/2]ですね.
正直に言って(論理的はもちろん好きに定義してかまいませんが,)あまり優秀な定義とは言えないです.
(定義域,積分による定義の問題,定義中に微積分学の基本定理や逆関数定理などの大定理の使用が必要・・・)
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58359.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年10月21日(日) 01時46分
>今の所円弧とは全く関係のないただの関数gなので循環論法にはなりようがありませんね

確かにその通りです。

f(x) = θ =∫[0,x] dx/√(1-x^2) (-1≦x≦1) は単調に-π/2からπ/2まで増大する.
∵df(x)/dx > 0.
ただし
π/2 = ∫[0,1] dx/√(1-x^2).
よって x が θ の関数として区間-π/2≦θ≦π/2において確定する.
それを
x = sinθ(-π/2≦θ≦π/2)
と書く.これは
g(θ) = sinθ
を意味する.
dx/dθ = √(1-(sinθ)^2).
θに0を代入するため,区間-π/2≦θ≦π/2のみを考えれば良いから
lim[h→0]sin(h)/h = 1.
この時点では,循環論法に陥ってないと思います.

あとは
「高木貞治著,定本 解析概論,pp204-205」
を参考に冪級数展開すれば、g(θ)がsinθの無限級数による定義と等しいことが分かる.
あと付けで単位円x^2+y^2=1の弧長を計算すればθが弧長だと分かる.
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58348.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:s    日付:2018年10月19日(金) 16時13分
今の所円弧とは全く関係のないただの関数gなので循環論法にはなりようがありませんね
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58346.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年10月19日(金) 15時56分
>そもそも通常の順序だとlim(x->0)sin(x)/x=1を使ってsin(x)の微分を計算するわけですから,sin(x)の微分を先に逆関数定理で与えてその特殊な場合(x=0での微分係数)からlim(x->0)sin(x)/x=1が自明に導かれるのは当然のことです

まさにその通りなのです.
だから,循環論法になるわけがないのです.

この場合,積分して弧長を求めています.
積分をして円弧の長さを求めるのでは循環論法になるというのは,「定義の仕方によっては」おかしな話だということを言いたいだけです.
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58345.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:s    日付:2018年10月19日(金) 15時42分
そもそも通常の順序だとlim(x->0)sin(x)/x=1を使ってsin(x)の微分を計算するわけですから,sin(x)の微分を先に逆関数定理で与えてその特殊な場合(x=0での微分係数)からlim(x->0)sin(x)/x=1が自明に導かれるのは当然のことです
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58344.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年10月21日(日) 01時40分
>* そもそもArcsinを先に定義してしまう(かつ逆関数定理を使う)とlim(x->0)sin(x)/x=1は極めて自明になります.そしてその場合sinの三角関数としての基本的性質が非自明になる.
>* 一般的な定義ではないので,命題中にArcsin, sinという用語の定義を書くべき.むしろ余計な混乱を招かないようにf,gなどの名前を使ったほうがよいくらいです.

確かにその通りです.
ただ,定義まで書くとなると少々手間がかかるので,sin,cosの定義は「高木貞治著,定本 解析概論,pp203-206」を読んで頂くことにしましょう.
そうすれば,冪級数のsinの定義と等しいことがわかります.

【命題】
関数fをf(x) =∫[0,x] dx/√(1-x^2) (-1≦x≦1)で定義する.
関数g:[-π/2,π/2]-->Rをf(x)の逆関数として定義する.
このとき,lim(h->0)g(h)/h=1.

pf.
df(x)/dx = 1/√(1-x^2).
df(x)/dx > 0 より、f(x) の逆関数が存在する。
逆関数定理より
dx/df(x) = 1/(df(x)/dx) = √(1-x^2)= √(1-g(f(x))^2).
dx/df(x) = lim[h→0](g(f(x)+h)-g(f(x)))/h.
f(x)=0とし, 定義から g(0)=0 であることに注意すると
lim[h→0](g(h)-g(0))/h = lim[h→0]g(h)/h = √(1-(g(0))^2) = 1. ■
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58342.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:s    日付:2018年10月19日(金) 14時19分
> Arcsin y = θ = ∫[0,y]1/√(1-t^2)dt (-1≦y≦1)とおく.

置いたのではなく定義ですね.置くという言葉を使うのだとしたらそれは関数θ(y)のことです.
"θ(y) = Arcsin y = ∫[0,y]1/√(1-t^2)dt (-1≦y≦1)とおく"
ならOK

> d(Arcsin y)/dy = dθ/dy = d(∫[0,y]1/√(1-t^2)dt)/dy = 1/√(1-y^2).

--> "dθ/dy = 1/√(1-y^2)"

> Arcsin y の逆関数を y = sinθ (-π/2≦θ≦π/2) とおき

この文章は日本語として意味不明です.
命題にsinが登場しているのに,証明中でsinが定義されている・・・
* そもそもArcsinを先に定義してしまう(かつ逆関数定理を使う)とlim(x->0)sin(x)/x=1は極めて自明になります.そしてその場合sinの三角関数としての基本的性質が非自明になる.
* 一般的な定義ではないので,命題中にArcsin, sinという用語の定義を書くべき.むしろ余計な混乱を招かないようにf,gなどの名前を使ったほうがよいくらいです.

【命題】
関数fをf(x) = ∫0x dt/√(1-t2) (-1≦x≦1)で定義する
関数g:[-π/2,π/2]-->Rをf(x)の逆関数として定義する(定義可能なことは別途確認しておく必要有)
このとき,lim(x->0)g(x)/x=1


> π=2*Arcsin(1) とおく.

不要.(しかもその上ですでにπを使用しています・・・)
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58339.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年10月19日(金) 13時33分
【命題】lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明

pf.
Arcsin y = θ = ∫[0,y]1/√(1-t^2)dt (-1≦y≦1)とおく.
微分積分学の基本定理より
d(Arcsin y)/dy = dθ/dy = d(∫[0,y]1/√(1-t^2)dt)/dy = 1/√(1-y^2).
d(Arcsin y)/dy > 0 より、Arcsin y の逆関数が存在する。
Arcsin y の逆関数を y = sinθ (-π/2≦θ≦π/2) とおき
π=2*Arcsin(1) とおく.
逆関数定理より
dy/dθ = 1/(dθ/dy) = √(1-y^2)= √(1-sinθ^2).
dy/dθ = lim[h→0](sin(θ+h)-sin(θ))/h.
θに0を代入し, Arcsin y = 0 のとき, 定義より y=0 であることに注意すると
lim[h→0](sin(h)-sin0)/h = lim[h→0]sin(h)/h = √(1-(sin0)^2) = 1. ■

【返信】
>そもそもこのような基本的な事項を証明するために「逆関数定理」(や「微積分学の基本定理」)のような大掛かりな定理を使用するのか?

これ以外の方法だと、循環論法を回避するために指数関数と三角関数を冪級数で定義するか又は,弧長を折れ線の長さの上限によって定義する方法しか思い浮かばなかったからです。
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58337.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:s    日付:2018年10月19日(金) 10時40分
その定義を採用するとしたら

> 単位円上の点P(x,y)=(√(1-t^2),t)のときの点P(x,y)の移動の速さは
> √( (dx/dt)^2+(dy/dt)^2 )=1/√(1-t^2).
> (1,0)から(√(1-y^2),y)への角度θ(弧長 Arcsin y)は

という記述は冗長で不要

> 三角関数の定義より Arcsin y の逆関数は y=sinθ.

の「三角関数の定義より」は誤り.

> 微分を定義の形に戻して,θ に 0 を代入すると
> lim[z→0]sin(θ+z)/(θ+z) = √(1-sinθ^2),

これも意味不明です.「微分を定義の形に戻す」という日本語が意味不明なのと,その次の式がそもそも正しいのか,という点をもう一度考えてみてください


他に,そもそもこのような基本的な事項を証明するために「逆関数定理」(や「微積分学の基本定理」)のような大掛かりな定理を使用するのか?
という問題と
sinをArcsinの逆関数として定義したが,そもそもその定義らしきものが定義になっているのか?
つまりArcsinに逆関数が存在することを(もちろん循環論法にならないように)示す必要があります
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58326.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年10月19日(金) 09時03分
スタートを正弦関数から考えるのでなく、逆正弦関数から考えます.
※「高木貞治著,定本 解析概論,pp203-206」を参考にしました.

>Arcsinの定義をどうするか
弧度法の定義より,単位円上の角度と弧長は等しいから
Arcsin y = θ.
Arcsin y = ∫[0,y]1/√(1-t^2)dt (-1≦y≦1)
と天下り的に定義します.

>sin(x)は無限級数で定義しますか?
Arcsin y の逆関数を用いて定義します.
便宜上
y = sinθ (-π/2≦θ≦π/2), π=2*Arcsin(1)
と定義します.

>d(Arcsin y)/dy = 1/√(1-y^2)などは証明する必要があります
微分積分学の基本定理より
d(Arcsin y)/dy = d(∫[0,y]1/√(1-t^2)dt)/dy = 1/√(1-y^2).

逆関数定理より
dy/dθ = 1/(dθ/dy) = √(1-y^2).
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58325.Re: lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:s    日付:2018年10月18日(木) 18時09分
このような基本的な事柄を証明する場合は,使う関数などの定義をはっきりさせておく必要があります

sin(x)は無限級数で定義しますか?
だとしてもArcsinの定義をどうするかや,その性質
d(Arcsin y)/dy = 1/√(1-y^2)
などは証明する必要があります

本当に循環論法になっていないかどうかは上記をはっきりさせない限り判断できません
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58291.lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明  
名前:Morley    日付:2018年10月19日(金) 09時05分
下記の証明が正しいかどうかを教えてください。
お願い致します。

【命題】lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明

pf.
単位円上の点P(x,y)=(√(1-t^2),t)のときの点P(x,y)の移動の速さは
√( (dx/dt)^2+(dy/dt)^2 )=1/√(1-t^2).
(1,0)から(√(1-y^2),y)への角度θ(弧長 Arcsin y)は
Arcsin y = θ = ∫[0,y]1/√(1-t^2)dt.
d(Arcsin y)/dy = dθ/dy = 1/√(1-y^2).
三角関数の定義より Arcsin y の逆関数は y=sinθ.
dy/dθ = √(1-y^2)= √(1-sinθ^2).
微分を定義の形に戻して,θ に 0 を代入すると
lim[z→0]sin(θ+z)/(θ+z) = √(1-sinθ^2),
lim[z→0]sin(z)/z = √(1-(sin0)^2) = 1.■

【蛇足】
循環論法にはなっていないと思います。
積分するときに命題は使っていません。
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「58291.lim[x→0]sin(x)/x = 1 の証明」への返信

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