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58278.Re: ネーターの正規化定理が成り立っていることが分かりません  
名前:通りすがり    日付:2018年10月16日(火) 05時44分
まず,ネーターの正規化定理はあくまで,f の様な k-代数の射(或いは,部分 k-代数 f(K[T]),或いは,k 上代数的独立である f(T))の「存在」を謳うものであって,個々の K-代数の射の性質に関する主張ではありません.

従いまして,個別に与えられた f が有限かつ単射であることは,ネーターの正規化定理が成立することの「言い換え」にはならないです.

きちんと正規化定理の主張を再確認して下さい.

f の有限性,単射性についてですが,念の為の確認として,「f が有限」の定義を確認して下さい(どういう構造に関する有限性なのかをはっきりさせる必要があります).また,A において,X_1 * X_2 = 0 であることを踏まえると,任意の非負整数 n に対し,

(X_1 + X_2)^n

を出来るだけ簡潔に表した場合,どうなるか考えて下さい.そうすると,自ずと有限性,単射性の証明が見えてくると思います.
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58270.ネーターの正規化定理が成り立っていることが分かりません  
名前:xhl    日付:2018年10月15日(月) 03時36分
A=k[X_1,X_2]/(X_1*X_2)とし
f:k[T]∋T→X_1+X_2∈Aとする。
このときネーターの正規化定理が成り立っていること、
つまり準同型写像fは有限(finite)かつ単射であることを示せ。
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