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58171.Re: 単位円板から単位円板への同相写像  
名前:初見    日付:2018年09月24日(月) 12時18分
基本群を使った解答お見事です。勉強になりました。皆様ありがとうございました。
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58161.Re: 単位円板から単位円板への同相写像  
名前:IT    日付:2018年09月23日(日) 13時17分
>> 円周上の点x についてf(x) が円板の内部の点になるとfの連続性に反することを示せば良いのでは。
>で解けるほど単純な問題には見えません.

たしかにそのとおりですね。私の投稿は無視してください。

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58154.Re: 単位円板から単位円板への同相写像  
名前:s    日付:2018年09月23日(日) 00時16分
同相写像は普通に
* f:D→Dが全単射
* f:D→Dもその逆写像f^{-1}:D→Dも連続
でしょう.もちろん「連続性」はDに入っているユークリッド距離が誘導する位相で.(R^2の部分集合としての位相と同じ)
それ以外の可能性があるとは思えません

またこの問題は
> 円周上の点x についてf(x) が円板の内部の点になるとfの連続性に反することを示せば良いのでは。
で解けるほど単純な問題には見えません.
fがDを含むR^2の開集合からDを含むR^2の開集合への同相写像で,DからDへの同相写像でもある場合ならそのように簡単に解けるのですが・・・

位相空間論はだいぶ忘れてしまっていますが,単連結性でせめてみてはどうでしょうか.
同相写像fが円周上の点xを内部の点yに写すのなら
位相空間A=D/{x}とB=D/{y}は同相のはずです.
Aは明らかに単連結ですがBは違いますよね
同相写像は単連結性を保存するはずなので・・・
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58153.Re: 単位円板から単位円板への同相写像  
名前:IT    日付:2018年09月22日(土) 23時38分
同相写像 の定義はどうなっていますか?

円周上の点x についてf(x) が円板の内部の点になるとfの連続性に反することを示せば良いのでは。
後は、fが全単射であることを使えば、fが円周を円周に写すことが言えるのでは。

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58141.単位円板から単位円板への同相写像  
名前:初見    日付:2018年09月22日(土) 10時23分
平面R^2内の単位閉円板をDとしたとき、DからDへの任意の同相写像fは、円周を円周に写すことを示して頂けないでしょうか?
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