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58139.Re: 一点とコンパクト凸集合の円での分離  
名前:通りすがり    日付:2018年09月22日(土) 01時24分
すみません.一部文が乱れていました.

下記の投稿において「同型」という言葉は,Hom に掛かっています.
KD182251244017.au-net.ne.jp (182.251.244.17)
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58138.Re: 一点とコンパクト凸集合の円での分離  
名前:通りすがり    日付:2018年09月22日(土) 01時20分
諸事情で先の投稿とは異なる媒体から入力しております.

私はこの分野の専門家ではありませんので,下記の証明はあまりエレガントではないかもしれません.因みに,wikipedia で「分離超平面定理」について調べると,更に情報が得られると思います.

【証明案】
以下 CC を複素数体,RR を実数体とし,通常の通りに CC と RR^2 を同一視する.また,C, p を 58102 のものとする.

ハーンバナッハの定理より,CC-線形写像 f: CC -> CC,並びに,a < b を満たす実数 a, b で

 Re(f(x))≧a>b≧Re(f(p)) for all x in C … (*)

を満たすものが存在する.c:= (a+b)/2 とおく.

Re: CC -> RR は RR-線形写像なので,F = Re・f(・は合成の意味)と定めると,F は CC = RR^2 から RR への RR-線形写像である.同型

<-,-> を CC= RR^2 上の標準内積とし,Hom_RR(CC,RR) = RR^2 を通して,F を RR^2 の元と見なすと,(*) より

 <F,x> = F(x) > c for all x in C

かつ

 <F,p> = F(p) < c

である.従って,直線 <F,z> = 0 は C と p を分離する.
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58137.Re: 一点とコンパクト凸集合の円での分離  
名前:VO-    日付:2018年09月21日(金) 19時52分
通りすがり様

コメント誠にありがとうございます。またレスポンスが遅くなり申し訳ございません。
もしよろしければ、どのようにハーン・バナッハの分離定理を使うのか教えて頂ければ幸いでございます。

よろしくお願いいたします。
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58124.Re: 一点とコンパクト凸集合の円での分離  
名前:通りすがり    日付:2018年09月17日(月) 21時18分
横から失礼します.

肝心の「Cとpを直線で分離できる」という事実が示せておりません.
この事実を証明するのに,ハーン・バナッハの分離定理を
利用するのだと思います.
p1852015-ipngn201108fukuokachu.fukuoka.ocn.ne.jp (123.219.219.15)
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58119.Re: 一点とコンパクト凸集合の円での分離  
名前:VO-    日付:2018年09月14日(金) 18時39分
IT様

なるほど納得です。理解できました!
ハーン・バナッハの定理を使うことばかり考えていましたが、初等幾何でも示せるのですね!
本当にありがとうございました!




ハーン・バナッハの分離定理を用いる解答も気になるので、もしそちらもお分かりになる方がいらっしゃいましたらご教授下さいませ。
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58118.Re: 一点とコンパクト凸集合の円での分離  
名前:IT    日付:2018年09月14日(金) 18時25分
私は方針案を示しただけです。厳密解ではありません。

pから分離直線Lに垂線pHを引く
1辺ABがL上にありCを含む正方形ABDEを描く
HがABの中点になるようにする。
ABDEに外接する円を描くpHと円の交点をqとする
pHの間の点でqよりHに近い点sをとりs,A,Bの3点を通る円を描く
というイメージです。
図を投稿しようと思いましたが図が直接ここに投稿できないようです。
図を描いて考えてみてください。
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58117.Re: 一点とコンパクト凸集合の円での分離  
名前:VO-    日付:2018年09月14日(金) 18時04分
ご指摘がございましたのでハーン・バナッハの分離定理の主張を述べておきます。



Xを複素数体上のバナッハ空間とする。
Cをコンパクト凸なXの部分集合、Dを凸なXの部分集合とし、CとDは共通部分をもたないとする。
このとき、実数a、bとX上の有界線型汎関数fが存在して以下を満たす:

Ref(x)≧a>b≧Ref(y) for all x in C y in D.




です。初めに書かなくて申し訳ございませんでした。
どうぞよろしくお願いします。
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58116.Re: 一点とコンパクト凸集合の円での分離  
名前:VO-    日付:2018年09月14日(金) 17時48分
IT様

お考えいただき誠にありがとうございます。
正方形を囲む円は直線を超えてはいけませんよね?そのためには、見つけるべき円の中心が十分直線から離れてなければならないと思うのです(同じことですが、半径が十分大きくなければいけないと思うのです)。そのような中心および半径を見つけるためにはどのようにすればいいでしょうか?というのがこの度の質問でございます。

誠に恐縮ではありますが、IT様のお考えは点を直線に変えただけで、問題そのものの証明にはなっていないような気がします。。。
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58115.Re: 一点とコンパクト凸集合の円での分離  
名前:IT    日付:2018年09月14日(金) 17時14分
使える定理が明確でないですが

Cとpを直線で分離し、
Cは有界なので正方形で囲んで、
その正方形を円で囲めば良いのでは

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58102.一点とコンパクト凸集合の円での分離  
名前:VO-    日付:2018年09月14日(金) 02時04分
複素平面内に、コンパクト凸集合CとCに含まれない点pがあるとします。
このとき、Cを含みpを含まない円が存在することを示せ。という問題です。


図を描けば当たり前の気がするのですが、厳密に証明することができません。

関数解析で学ぶハーン・バナッハの分離定理を使うようなのです。。

どうぞよろしくお願いいたします。
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