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58021.Re: Whitneyの傘の特異点集合について  
名前:黄桃    日付:2018年09月04日(火) 07時56分
そういう理解でもいいと思います。
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58008.Re: Whitneyの傘の特異点集合について  
名前:ojn    日付:2018年09月03日(月) 10時26分
>パラメータ表示とその像を混同してはいけません。
確かに,自分はこの部分を混同していたようです.

パラメータ表示での特異点というのは,あくまで"関数 g:C^2 -> C^3 の特異点"であって,その像が持つ"集合の特異点"とは違うものである,という解釈であっていますでしょうか?
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57956.Re: Whitneyの傘の特異点集合について  
名前:黄桃    日付:2018年09月01日(土) 01時57分
>微分幾何学の本に,R^3内の曲面の特異点は「パラメータ表示のヤコビアンがランク落ちする点である」ということが書かれていて

それは、パラメータ表示されている曲面の特異点の話ですよね?
そのパラメータ表示が埋め込みになっているならともかく、そうでなければパラメータ表示とその像を混同してはいけません。
今の例では、パラメータ表示した方のu=1,v=0 の近傍は, {(x,y,z)|x^2-y^2*z=0}での(0,0,1)の近傍の一部にすぎません(u=-1,v=0の近傍が抜けています)。したがって、両者の構造は異なります。

#u,vが複素数なら任意の複素数の平方根はとれますので、
#g:C^2→C^3, g(u,v)=(uv,v,u^2)とおけば、g(C^2)={(x,y,z)|x^2-y^2*z=0}です。
#この時、(uv,v,u^2)で表される(複素)曲面は原点だけを特異点にもちますが、
#その像はz軸全体を特異点としてもちます。

##もっといえば、平面曲線 y^2=x^2(x+1) の特異点は原点だけですが、これを
##x=t^2-1, y=t^3-t とパラメータ表示すると特異点が解消します
##(t=±1の時原点なので埋め込みではない)。
##これは一番簡単な特異点解消の例です。
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57955.Re: Whitneyの傘の特異点集合について  
名前:ojn    日付:2018年08月31日(金) 15時29分
黄桃 様

ご回答ありがとうございます.
やはりz軸全体が特異点集合なのですね.

とある微分幾何学の本に,R^3内の曲面の特異点は「パラメータ表示のヤコビアンがランク落ちする点である」ということが書かれていて混乱していたのですが,違いが理解できたように思えます.

(というよりは,そもそも{(x,y,z)|x^2-y^2*z=0}と{(x,y,z)|(x,y,z)=(u*v,v,u^2)}では定める集合が異なりますね...z軸負の部分を見落としていました.)

ありがとうございました.
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57953.Re: Whitneyの傘の特異点集合について  
名前:黄桃    日付:2018年08月31日(金) 07時22分
{(x,y,z)|x^2-y^2*z=0}の特異点はz軸全体です。

おっしゃられているパラメータ表示では、例えば、(u,v)=(1,0),(-1,0)はいずれも同じ点(0,0,1)に対応しますので、1対1ではありません(ついでにいえば、実数の範囲では、(0,0,-1)に対応する (u,v)は存在しません)。
結果として、このパラメータ表示により、z軸上で原点以外の交差している部分を(uの「符号」により「立体交差」させることで)分離していることになり、原点以外の特異点が解消されています。
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57930.Whitneyの傘の特異点集合について  
名前:ojn    日付:2018年08月29日(水) 15時02分
これが初めての投稿なので,何か無作法な点があればご指摘お願いします.


以下,質問です.

f(x,y,z) := x^2 - y^2*z = 0

で定義される"Whitoneyの傘"と呼ばれる図形がありますが,
この図形の特異点集合はz軸全体でしょうか?
それとも,原点のみでしょうか?

f(x,y,z)を微分すると

f_x = 2x, f_y = 2yz, f_z = y^2

となるので,x = y = 0, すなわち z 軸が特異点集合になるように思えます.


一方で,この図形をパラメータ表示すると

g(u,v) = f(uv, v, u^2)

と表せますが,この時のヤコビアンのランクが 1 になるのは原点のみなので,
特異点は原点のみのようにも思えます.


これは,どちらが正しい理解なのでしょうか?
それとも,考える側の立場によって変わってくるものなのでしょうか?
回答よろしくお願いします.
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