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57839.Re: 圏論  
名前:猫舌    日付:2018年08月21日(火) 11時48分
[1B] . [α] = [1B . α] = [α] and [α] . [1B] = [α . 1B] = [α]

これは、先の射の合成の定義によって、1B . α が定義されているときはいつでも and の左側の関係が成り立ち、かつ、1B . α が定義されているときはいつでも and の右側の関係が成り立つ、という意味なのですね。

勘違いばかりで理解するのにずいぶん時間かかりましたが、納得できました。皆さん、ありがとうございました。
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57838.Re: 圏論  
名前:猫舌    日付:2018年08月19日(日) 16時23分
レス番57835で

> ですから何故作れないとおっしゃるのかわかりませんので, より詳細な理由を添えてください.

と言われたので、レス番57834時点で、つまり

> "whenever α◦β is defined." という一文の意味をよくお考えになるべきかと.

と指摘を受ける前までの時点で考えていたことをレスしました。

せっかくの指摘、無視など全くしていません。今考えている最中です。
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57837.Re: 圏論  
名前:ast    日付:2018年08月19日(日) 15時33分
> Figure 11 は〜射の合成の説明には関係ないということでしょうか。

具体的な射の形が Fig11 ですから関係ないとは言わないけれど, 射の合成も恒等射も厳密に定義を与えているのであって「例を挙げているのではない」のですから, Fig11 に限定した話と考えるのは明らかに誤りです (個人的にはそんな発想すること自体が信じられない).

> これだと and の左側の式には当てはまっても、今度は右側の式に当てはまりません。

いまだに "whenever ~ difined." の意味を無視して, and の左右の α が同じものだと信じ込んでいるのですか? テキスト2頁の 5) と式の意味は同じですよ.
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57836.Re: 圏論  
名前:猫舌    日付:2018年08月19日(日) 15時10分
> というのは違うのではないでしょうか.

Figure 11 は射の合成の説明より前の部分の説明に使われていて、射の合成の説明には関係ないということでしょうか。


> 何故作れないとおっしゃるのかわかりませんので, より詳細な理由を添えてください.

g:A->C
α:C->B
f:A->B
1B:B->B

これだと and の左側の式には当てはまっても、今度は右側の式に当てはまりません。α.1B という順の合成ができないです。なぜなら、1B のコドメインはBで、αのドメインはCだからです。

私がレス番57834で左側の意味が分からないと言ったのは、Figure 11 で考えていたからです。
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57835.Re: 圏論  
名前:ast    日付:2018年08月19日(日) 12時25分
テキストを確認しましたが
> 例として次の射を持つ圏C
>    f : A -> B
>    g : A -> C
>    α: B -> C
> に対する〜
というのは違うのではないでしょうか. "whenever α◦β is defined." という一文の意味をよくお考えになるべきかと.

> 1B . α という順の射の合成は作れませんよね。
当該図式を可換にする任意の g:A→C, α:C→B に対して f:A→B, 1_B:B→B との合成 1_B◦α: C→B は当然作れます. ですから何故作れないとおっしゃるのかわかりませんので, より詳細な理由を添えてください.
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57834.Re: 圏論  
名前:猫舌    日付:2018年08月19日(日) 09時04分
本の中の圏の定義と、coslice圏の定義の部分をじっくり読み直して、いくつか例を作って考えてみました。

> あきらかに [g].[f] := [g.f] と定義することが意図されているように思いますが, テキストにはそうかかれていないのでしょうか?

確かに射の合成はそのように定義されていました。しかし、その定義に従うと、そのすぐ後に書かれている恒等射の定義がよく分からなくなるのです。

本では、例として次の射を持つ圏C
   f : A -> B
   g : A -> C
   α: B -> C
に対するcoslice圏のオブジェクト (B, f:A->B) の恒等射 [1B] についてこのように書かれています。

-----
As to the identity on an object (B, f:A->B), we have
  [1B] . [α] = [1B . α] = [α] and [α] . [1B] = [α . 1B] = [α]
and so [1B] is the identity morphism for the object (B, f:A->B).
-----

2行目の式の and の右側は分かりますが、左側の意味が分かりません。[1B . α] は「元の圏Cの射 (1B . α) に対するcoslice圏の射」という意味だと思ったのですが、1B . α という順の射の合成は作れませんよね。これはどういうことでしょうか。


ちなみに、Google Books で問題の箇所が見れます。
https://books.google.co.jp/books/about/An_Introduction_to_the_Language_of_Categ.html?id=y3LbDQAAQBAJ&redir_esc=y
ここで「Comma Categories」や「coslice」で検索すると見れます。24ページから25ページにかけて書かれています。
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57788.Re: 圏論  
名前:ast    日付:2018年08月11日(土) 17時11分
余計な補足かもしれませんが, 余スライス圏 (A→C) のどんな射も圏 C の射からくることが理解されていないのではありませんか?
> 圏Cのidentity射を使って圏(A→C)のidentity射を定義していて、頭が混乱しています。
ということは, 余スライス圏について根本から勘違いされているのではないかと大いに危惧されるところです.

質問者さんが自信があるとおっしゃる
> 圏Cにおいて射 f:A→B、g:A→C、a:B→C が存在するとき、圏(A→C)の射を (B, f:A→B) → (C, g:A→C) と定義する。
> 圏(A→C)において射 [f]:(B, f:A→B) → (C, g:A→C)、[g]:(C, g:A→C) → (D, h:A→D) が存在するとき、射の合成 [g].[f] = (B, f:A→B) → (D, h:A→D) が定義できる。
というのも, あまりに雑な理解だと言わざるを得ないように思われます.

例えば, 上の行だと,「f,g,a の作る有向三辺形 (=A,B,Cの作る三角形) 図式は可換」である必要があるのではないでしょうか. そのとき, a に対応する [a] があると言えるわけですが, 余スライス圏にはその方法で得られる射しかないはずです (言葉を換えれば, 余スライス圏 (A→C) の射 α: (B, f:A→B) → (C, g:A→C) が存在するためには「適当なCの射 a が存在して α = [a] と書けなければいけない」).

同じことは下の行でもいえて, 「射の合成 [g].[f] が定義できる」と主張するには, [g].[f] が「圏Cにおけるどのような射 a に対する [a] としてとれるか」を具体的に述べなければいけないのに肝心のそれが書かれていないようです (あきらかに [g].[f] := [g.f] と定義することが意図されているように思いますが, テキストにはそうかかれていないのでしょうか?).

恒等射の件も根本的には同じ話ということになります.
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57785.Re: 圏論  
名前:通りすがり    日付:2018年08月11日(土) 12時44分
> 射 (B, f:A→B) → (B, f:A→B) と定義される

では,何も定義されておらず,全く意味不明です.

> 本では圏Cのidentity射を使って圏(A→C)のidentity射を定義

で全く問題はありません.

圏の定義,identity 射の定義を確認して下さい.老婆心ながら,注意しておきますが

 morphism = object 間の写像

とは一切定義していません.

例えば,G を群,x を適当な集合とし,

 Ob := {x},
 A, B ∈ Ob に対し,Hom_C(A,B) = G

と定め,A, B, C ∈ Ob に対し,合成

 Hom_C(A,B) × Hom_C(B,C) -> Hom_C(A,C) を群の積

A ∈ Ob に対し,恒等射 A -> A を G の単位元と定義すれば,

Ob を対象達,G の元が射であるような圏となります. 
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57784.圏論  
名前:猫舌    日付:2018年08月11日(土) 11時33分
coslice圏のidentity射について質問です。

Steven Roman著「An Introduction to the Language of Category Theory」という本にcoslice圏の定義の説明がありましたが、この圏のidentity射の説明がよく分かりませんでした。

とりあえず、以下の認識は正しいでしょうか?
(圏論の基礎を勉強中で、用語の使い方がおかしかったり、一般的でなかったりすると思います)

-----
圏Cのオブジェクトの集合をCobjとする。 圏Cのオブジェクトを大文字A、B、C等で、圏Cの射を小文字f、g、h等で、coslice圏の射を括弧付き小文字[f]、[g]、[h]等で表すとする。射の合成演算子は . (ドット)で代用することにする。

A∈Cobjをソースオブジェクトとする圏Cのcoslice圏を(A→C)と表す。

対の集合 {(B, f:A→B) | B∈Cobj} が圏(A→C)のオブジェクト集合である。

圏Cにおいて射 f:A→B、g:A→C、a:B→C が存在するとき、圏(A→C)の射を (B, f:A→B) → (C, g:A→C) と定義する。

圏(A→C)において射 [f]:(B, f:A→B) → (C, g:A→C)、[g]:(C, g:A→C) → (D, h:A→D) が存在するとき、射の合成 [g].[f] = (B, f:A→B) → (D, h:A→D) が定義できる。
-----

ここまでは正しく理解できていると思います。問題はidentity射なのですが、以下の認識で合っていますか?

-----
圏(A→C)のオブジェクト (B, f:A→B) のidentity射 [1B] は射 (B, f:A→B) → (B, f:A→B) と定義される。
射 [f]:(B, f:A→B) → (C, g:A→C) について [1C].[f] = [f]、[f].[1B] = [f] を満たす。
-----

私はこのように考えたのですが、本では圏Cのidentity射を使って圏(A→C)のidentity射を定義していて、頭が混乱しています。
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